§ 9.5. Динамические модели принятия решения

Управление многими реальными системами по сути дела представляет собой последовательность решений, направленных на выполнение некоторой цели при наличии ограничений (помех). Этим объясняется особое внимание исследователей к созданию динамических моделей принятия решения при нечеткой исходной информации, когда учитывается ее изменение во времени. Любой процесс управления динамической системой характеризуется множеством состояний этой системы X и множеством значений управления U-, состояния и значения управления для момента времени t^T будем обозначать через Xt и Ut соответственно. Функционирование системы, т. е. ее переходы из состояния в состояние под воздействием управления описывается уравнением состояния (движения): xt+i = f{x,, Ut). Здесь предполагается, что изменения состояний происходят в дискретном времени Т = Ш = {О, 1,2,...}. Если, кроме того, система имеет конечное число состояний и управлений, то многошаговый процесс принятия решения можно представить с помощью автоматной модели {X, U, /, Хо, Xt) {37, 133], где X ={хі, ..., Хд-), U ={и,, ..., Ыш), / — переходное отображение, Хо S X — начальное состояние, Xj сі X множество конечных состояний. Если предположить, что цели функционирования

определены в пространстве состояний, а ограничения наложены на значения управления, то нечеткость при рассмотрении многоша* гового процесса принятия решения может содержаться в описа-г нии: а) целей в пространстве состояний; б) ограничений в пространстве управлений; в) переходной характеристики; г) времени окончания процесса.

Обычно тип динамической системы принято связывать с ха* рактером отображения /. К настоящему времен^ различают [47] четыре типа моделей: 1) /: ХХС/-*-Х или /: X X Z7 X X{О, 1} детерминированная модель; 2) X X U 2х — недетерминированная модель; 3) /: XXUРг(Х) (где Рг(Х) — класс распределений вероятности на множестве X)—стохастическая модель; 4) /: X X £/ X X [0, 1] или /: Т(Х) X 3~{U) -* 8Г(Х) — нечеткая модель динамической системы. Для типа 4) можно указать случаи: а) четкая переходная функция связывает нечеткие состояния системы; б) степень или вес перехода из одного четкого состояния в другое описывается нечетким переходным отображение ем; в) нечетки как состояния и управления, так и отображения переходов.

В [96, 97] в основу описания многоэтапной задачи принятия решения положено нечеткое отображение типа ST (X) X UN -*■ -*-^F"(X), где X = 5?"— пространство состояний, UN — пространство стратегий (последовательностей управления, переводящих объект из начального состояния в конечное), а 3~(X)—класс всех нечетких подмножеств X. Любое состояние, в том числе и начальное, представляется выпуклым нечетким подмножеством пространства состояний. Считается, что решение принимается в условиях риска, т. е. характеризуется некоторым классом оптимальных стратегий, которым приписываются различные степени риска. Эти оптимальные стратегии минимизируют функционал вида /„ = (1 — р) /тах + p/mm, 0 < р < 1, р — параметр риска.

При решении многошаговых задач с нечеткими целями и ограничениями [23] применяется метод динамического программирования. Рассматриваются детерминированные и стохастические системы как с фиксированным, так и с неявно определенньщ временем окончания процесса. Случай нечетко определенного времени окончания многоэтапного процесса th е supp Т = {£ІЦг(£)> > 0} описан в работе [122].

Динамическую задачу принятия решения естественно представить конечным графом Г = {X, F} [37], где X — множество вершин, соответствующее (конечному) множеству состояний, а V с: X X X — множество ориентированных дуг (xh xt), описывающее переходы из состояния в состояние под действием управления пх. Как известно, любая последовательность управлений, переводящая систему из начального состояния в конечное, которое отождествляется с общей целью, называется стратегией, а любая подпоследовательность этой последовательности называ

ется частичной стратегией. Частичная стратегия относится к промежуточной цели. Ни одна общая стратегия, содержащая в себе какую-либо частичную стратегию, не может иметь вес, больший, чем вес этой частичной стратегии. Поэтому функция принадлежности, характеризующая любую стратегию, является невозрастающей при увеличении числа шагов. Если ищется максимизирующее решение, то при последовательном анализе частичных стратегий на промежуточных стадиях поиска решения имеет смысл принимать во внимание только те из них, которые обладают наибольшим весом. Иными словами, задача отыскания оптимальной стратегии, соответствующей максимизирующему решению, сводится к нахонедению в графе Г пути из начальной вершины Хо в конечную вершину, принадлежащую множеству  с максимальным весом [43].

При анализе принятия решения в случае нечеткой динамической системы с нечеткими целями и ограничениями функционирования применяется [123—124] метод ветвей и границ. Здесь уравнение состояния принимаетвид

где  [Хх,: ^'->-[0, 1]— нечеткие состояния динамической

системы в моменты времени t + і ж t соответственно. Нечеткое состояние в момент времени t + \ есть условное по и м, нечеткое множество Х(+і с функцией принадлежности (а^г+і I или в соответствии с определением условного нечеткого множества

Для конечных множеств X ті U для каждого значения управления можно построить матрицу состояний M{ut), М^{щ) = = M'.Ti1 aJj,, щ) и, следовательно, х«+і = М(Ц()х,, где Xt+i и ж ( — векторы-столбцы, состоящие из элементов  (a^t+i)*

(a^t) соответственно.

Функционирование данной системы, понимаемое как переход из одного нечеткого состояния в другое, подчиняется следующей цели; достичь в момент времени = 4 такого нечеткого состояния системы Х^, которое было бы в некоторой степени близко к предварительно заданной нечеткой цели (нечеткому состоянию) Gn при наличии нечетких ограничений С<. В качестве меры этой близости берется относительное расстояние между двумя нечеткими множествами, например хэммингово расстояние (линейное)

либо евклидово расстояние (квадратичное)

О < 6, е < 1. Тогда уровень достижения цели описывается в форме ц 1 (а;) = 1 — d (X Сл)* где в качестве относительного рас-

Gjy

стояния d между    и    можно взять как б, так и е.

ц 1 = const для всех х^Х.

Кроме ограничений С», С,, ..Ск-і и конечной цели G», можно сформулировать промежуточные цели G^, G^-i также в виде ограничений на состояния системы в моменты времени t= і, 2, ..N — і. Если эти цели нечеткие, то на каждом і-м этане следует оценивать уровень их достижения согласно Ц і(х) =

= 1 — d ЦХі)* При этом максимизирующее решение

Существует тесная взаимосвязь между задачами динамического принятия решения в нечеткой обстановке и традиционными задачами оптимального управления, где критерий оптимальности выражен некоторым функционалом [114].