§ 1.2. Виды областей значений функций принадлежности

Все рассмотренные выше нечеткие объекты можно далее классифицировать по виду области значений функции принадлежности. Помимо интервала [О, 1] функция принадлежности может принимать свои значения в интервале [—1, +1] (тогда граничное значение полной непринадлежности равно —1, а О берется как точка перехода нечеткого множества [43]), на числовой прямой Я, а также в различных множествах, наделенных некоторой структурой. Например, в [24] область значений функции принадлежности [г: Z-»-(—<»; +|«>) состоит из трех участков: а) [г(а:)>0, б) —1^[г(д:)<0 и в) [г(а:)<—1. При интерпретации X как множества деталей подмножество {жsXI[г(а:)> > 0} охватывает все годные детали, не выходящие за пределы требуемых допусков, подмножество іх е XI —1 ^ (г(ж) < О) — негодные детали, которые можно переделать, а {д:еХ1(г(ж)< —1} — бракованные детали.

Исторически первым обобщением понятия НМ (г: X [О, 1] стали L-нечеткие множества \і: XL [32], т. е. функции, принимающие свои значения в конечной или бесконечной дистрибутивной решетке L (решетка — частично упорядоченное множество с точной нижней и точной верхней границами). Области принадлежности моделируются также полной решеточно упорядоченной полугруппой [32, 33], полукольцом [21, 59], категорией [54]. Важным для практических приложений в плане выражения качественных представлений и оценок человека в процессе решения задачи является случай iS-нечетких множеств, задаваемых парой (X и). где

— отображение из X в линейно упорядоченное множество S [32, 62]. На S естественно наложить требования конечности и полноты. Пример конечного линейно упорядоченного множества — набор лингвистических значений лингвистической переменной «КАЧЕСТВО» = {плохое, среднее, хорошее, отличное)*). Свойство линейной упорядоченности не несет информации о расстоянии между элементами множества S, т. е. если указывается, что один элемент предпочтительнее другого: > Sj, то нельзя выразить количественно, насколько Si лучше Sj. Линейный порядок

не допуска^ арифметических операций, поэтому вместо дополнения НМ ц(ж)= 1 —    классе 5-нечетких множеств применяется операция отрицания; если |л(2:) = в,-, то = где s„ — максимальный элемент в S. Эта операция удовлетворяет свойствам инволюции; ц(ж)=[г(д:) и инверсии порядка: если

где X, у^Х,   {X). Операции возведения в степень НМ (см.

табл. 1.1) соответствует операция сдвига 5-нечеткого множества в X. Пусть А — НМ в X с функцией принадлежности, принимающей значения в 5 = {so, ..., sj, а — любое целое число. Оператор сдвига S“, действуя на ^-нечеткое подмножество А, образует новое 5-нечеткое подмножество = причем если Ца(^) = «і, Si^S, то

Определения операций пересечения min и объединения шах для 5-нечетких множеств аналогичны определениям для НМ класса ^{Х) (табл. 1.1).