2-4. ЛИНЕЙНОЕ ЗВЕНО. ВЕСОВЫЕ, ПЕРЕХОДНЫЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И МАТРИЦЫ

Выделенную каким-либо образом из системы ее часть называют звеном: простым, если порядок описывающего его дифференциального уравнения не выше второго, и сложным — при более высоком порядке. Непрерывные линейные звенья в зависимости от вида их уравнения разделяют на обыкновенные (с сосредоточенными параметрами) и особые (с чистым запаздыванием, с распределенными параметрами, с переменными параметрами). Уравнение обыкновенного линейного звена

где Q и R — полиномы от р степеней пит соответственно. Решение уравнения при заданных начальных условиях называют переходным процессом. Представляют интерес процессы при некоторых типовых начальных условиях и воздействиях.

В качестве типовых начальных условий принимают нулевые начальные значения слева в момент времени t=to при условии, что воздействия до этого момента отсутствовали. Это означает, что звено до начального момента находилось в состоянии покоя:

Иногда по оси х откладывают отклонения х от установившегося значения так, чтобы с течением времени х стремилась к нулю. Тогда нулевыми значениями в начальный момент будут обладать производные само же значение x(t0) в общем случае будет отличным от нуля.

В дальнейшем наряду с символической записью уравнений в форме (2-19) будет использоваться изображение переменных и уравнений по Лапласу. При нулевых условиях слева изображение Лапласа для уравнения (2-19) совпадает с ним по виду:

В качестве типовых воздействий обычно принимают ступенчатую, импульсную или гармоническую функцию. Единичная ступенчатая функция (рис. 2-3)

удобна для приближенного описания быстро изменяющихся воздействий на входе звена в момент t=t0 и в установившемся ре-

жиме, имеющих постоянное значение. Примером может служить внезапное подключение или отключение нагрузки в промышленных установках.

Нормальная реакция (т. е. реакция при нулевых начальных условиях) на единичную ступенчатую функцию называется переходной функцией и обозначается h(t—to). Переходную функцию удобно выражать с помощью формул операционного исчисления Хевисайда. Если все корни характеристического полинома Q(s) звена простые, т. е. не равные друг другу и отличные от нуля, и если т^.п, то при ^0=0

где St, 1=1, 2,..., п — корни характеристического уравнения звена

При наличии / групп кратных корней с кратностью qc корня s0 в а-группе выражение переходной функции будет:

где

Формулу (2-26) можно рассматривать как общую, так как если в группе только один корень, то, так как 0!=1, для данной группы получим из (2-26) выражение, аналогичное (2-23).

Если известна h(t) при единичном ступенчатом воздействии, то при произвольном воздействии y(t), y(t^.to) =0, переходный процесс x(t) можно выразить через h(t) и y(t) с помощью интеграла Дюамеля:

Импульсная единичная функция (дельта-функция Дирака) относится к классу обобщенных функций. Ее определяют равенствами

Поскольку с точки зрения классического анализа условия (2-29), строго говоря, несовместимы, S(t) не есть обычная функция. &(t) удобна для обозначения идеально «тонких» импульсов, введение которых взамен реальных «очень тонких» импульсов существенно упрощает математическое исследование и широко используется. Однако с точки зрения анализа получаемые формально путем операций над б-функциями выражения нуждаются в строгих обоснованиях. Для обоснования вместо б-функции вводят обычные функции, такие, что б-функции получаются из них в результате предельных переходов. Примером может служить функция -—

обладающая свойствами

и при возрастании (3 стремящаяся к единичной ступенчатой функции:

б-функцию можно найти с помощью предельного перехода где

б-функцию можно трактовать как бесконечно короткий по времени импульс бесконечно большой амплитуды, но с конечной, равной единице, площадью. Из определения6(0 следует:

Нормальная реакция w(t) на импульсную функцию называется импульсной переходной функцией (весовой функцией). Ее также можно получить с помощью формул Хевисайда. Для простых корней

Вообще же

где s, qa, Qa(s) имеют те же значения, что и в (2-26).

Нормальная реакция звена на произвольное воздействие у (t) также выражается через импульсную переходную функцию с помощью интеграла

Функция w(t) является частным случаем функции Грина в теории решений дифференциальных уравнений.

Передаточная функция звена. В теории автоматического управления в качестве одной из основных динамических характеристик используется передаточная функция.

Отметим основные свойства передаточной функции линейной стационарной системы с сосредоточенными параметрами. Любое из них может быть принято за определение, тогда остальные свойства будут следствиями.

Свойство 1. Передаточная функция W(p), выраженная через оператор дифференцирования p—d/dt, равна отношению оператора R(p) при воздействии в исходном уравнении звена (т. е. оператору правой части уравнения) к оператору при координате (оператору левой части) Q(p):

Такое определение, например, принято в [47].

Свойство 2. Передаточная функция W(s) равна отношению преобразования Лапласа X(s) реакции x(t) звена к изображению Y(s) воздействия y(t), вызвавшего эту реакцию, при нулевых начальных условиях. Пусть

•— изображения Лапласа для входной и выходной переменных при нулевых начальных условиях. Передаточная функция звена

Она является функцией комплексного аргумента s=a-f-/co. Это свойство принято в качестве определения в [1].

Свойство 3. Так как изображение б-функции, прикладываемой в момент t=t0>

то изображение при нулевых  начальных условиях уравнения будет т. е.

Таким образом, передаточная функция равна преобразованию Лапласа от весовой функции. Это свойство принято в качестве определения в [60].

Многосвязные (многомерные) звенья и системы. Звено может иметь несколько входов и выходов. Так, рассмотренный в § 2-3 двигатель постоянного тока можно трактовать как звено, на которое действуют нагрузка Мс (возмущение) и напряжение и (управление), т.е. как звено с двумя входами. Синхронный генератор, у которого одновременно регулируются частота и напряжение, является звеном с двумя выходами. В силу физических законов некоторые входные и выходные величины часто связаны: один вход может изменить все или несколько выходов. Система (или звено) с несколькими связанными через систему регулируемыми величинами называется многосвязной. При этом число связей принимается равным числу регулируемых величин (а не вообще числу координат).

Пусть число регулируемых величин равно п, число управле-йий /, число возмущений т. Уравнение такой я-связной системы можно привести к виду

где aij(p), bik(p) и Cir(p)—полиномы. Если в какое-либо i-e уравнение входит u<Ll управлений щ и m;<m возмущений1 fr,

то правую  часть  можно либо записать в виде

либо сохранить запись в таком виде, как указано

в (2-44), положив все коэффициенты bik, для которых i~>k, и все dr, для которых i~>rrii, равными нулю. Иными словами, в (2-44) считается /=макс{7;}, /п=макс{тг}.

Чтобы по заданному набору переменных х={х\,хп] можно было однозначно подобрать обеспечивающие этот набор управления и{их,«;}, число / управляющих воздействий должно быть не меньше числа уравнений, т.е. не меньше п, иначе уравнения, рассматриваемые относительно неизвестных переменных «ь могут оказаться несовместными. Число / может быть, однако, больше п\ тогда имеется возможность налагать на щ дополнительные условия, например оптимизировать управления по дополнительным критериям. В данной книге рассматриваются системы, у которых 1=п, поэтому формулу (2-44) можно также записать в виде

положив bik = 0 при i~>U и cik=0 при />тг-.

Совокупности переменных х= {хи..., хп}, и={«ь..., щ) и f= = {fb--»fm} можно представить как векторы и записать уравнения (2-44) более компактно в матричной форме

где А, В и С — операторные матрицы, а х, и и f — матрицы-столбцы:

Лапласово изображение уравнения (2-45) при нулевых начальных условиях

Умножая (2-47) слева на обратную матрицу A~l(s), получаем:

лд \

Матрицы \ \

где A(s) = [Aj/]T — присоединенная матрица для А, А,-/ — алгебраические дополнения элементов ац, называют передаточными матрицами системы по управлению и возмущению соответственно. Их элементы — передаточные функции для различных координат xi по различным управлениям «у или возмущениям fy:

Записав уравнения в форме, где т=1=п, по теореме Крамера найдем решение уравнений для переменной хс

Дифференциальное уравнение относительно Xt

Характеристический полином det А(р) для всех переменных одинаков, правые же части уравнений для разных переменных отличаются друг от друга.

Матрицы, элементами которых будут весовые w или переходные h функции, называются соответственно весовой G или переходной Н матрицами. Если все воздействия к системе прилагаются одновременно в момент t=to, уравнение (2-45) можно записать в виде

где — момент приложения воздействий, причем G(^ — т)=0 при x>t.

Весовая и передаточная матрицы связаны соотношениями

Вторая из этих формул выражает обратное преобразование Римана —Меллина.

Пример. Дан двухсвязный объект регулирования, характеризующийся регулируемыми координатами xi и хг, тремя управляющими tii, и2 и и3 и одним возмущающим f воздействиями. Его уравнения

где a, b и с — операторы. Операторные матрицы

Алгебраические дополнения элементов ац  Присоединенная матрица

Обратная матрица

Передаточная матрица по управлению  Передаточная матрица по возмущению

Выписывая элементы этих матриц, получаем выражения для передаточных функций по управлению

и по возмущению

Система, таким образом, характеризуется восемью передаточными функциями: шестью по управлению и двумя по возмущению.

\