2-5. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ГРАФЫ

\

Для наглядного представления сложной системы как совокупности элементов и связей между ними используются структурные схемы и графы.

Под структурой системы понимают совокупность образующих ее частей, на которые система разделяется по тем или иным признакам, и связей между ними. Графическое изображение структуры называют структурной схемой. В технике распространены три вида структурных схем: конструктивные, функциональные и алгоритмические. Составная часть конструктивной схемы — конструктивный блок, т. е. объединение ряда элементов в конструктивное целое. Блок может изыматься из системы, замещаться другим и т. д. Схемы удобны при монтаже, сборке и т. п. В функциональной схеме в блоке объединяются элементы, участвующие в выполнении определенной единой функции (сравнение, измерение, усиление, коррекция и т. п.). Пример функциональной схемы САР был показан на рис. 1-8.

В теории автоматического регулирования распространены алгоритмические структурные схемы. Их составные части — звенья — соответствуют выполняемым в них математическим преобразованиям. Структурная схема составляется по уравнению системы, и по заданной структурной схеме может быть восстановлено уравнение. Таким образом, структурная схема в регулировании является графическим образом уравнения и может служить математической моделью графического типа.

Алгоритмическая схема может походить на функциональную. Но иногда для упрощения математических преобразований при исследовании ее видоизменяют, и внешнее сходство с функциональной схемой утрачивается.

Звенья в структурных схемах выделяются прежде всего таким образом, чтобы они обладали свойством направленности, т. е. чтобы воздействия в них передавались только в одном направлении — от входа к выходу внутри звена. Если в реальном элементе выход оказывает влияние на вход, такой элемент, не обладающий направленностью, изображают в виде направленного звена с обратной связью.

На структурной схеме звенья изображаются прямоугольниками (рис. 2-4); воздействия на них — подходящими к одной из сторон прямоугольника (входу) стрелками; переменные состояния или выходные величины — стрелками, отходящими от противоположной стороны прямоугольника (выхода). Звену ставится в соответствие оператор преобразования входной величины в выходную. Для линейных звеньев указывается их передаточная функция. Для нелинейных звеньев, выполняющих преобразование y=f(x), указывается или выражение функции f[x), или ее график.

/

/

/

Особое изображение используется для алгебраических сумматоров— разделенные на сектора кружки. Слагаемые изображаются стрелками, подходящими к секторам, сумма — стрелкой, отходящей от одного из секторов. Отрицательные слагаемые отмечаются или знаком минус у острия стрелки, или зачернением сектора, к которому подходит стрелка. В схемах используются также узлы (точки разветвления), обозначаемые точками на стрелках. Всем отходящим от узла стрелкам соответствует одна и та же величина. Связи изображаются стрелка ми, отходящими от узлов или выходов и подходящими к сумматорам или входам.

В процессе исследования структурные' схемы подвергают различным преобразованиям: объединению (агрегированию), расчленению (декомпозиции) или трансформации.

Применяют и другой вид структурных изображений — графы прохождения сигналов. Граф представляет собой множество определенным образом связанных вершин и ребер. Каждому ребру соответствуют две вершины — начало (вход) и конец (выход). Графы прохождения сигналов обладают следующими свойствами:

Каждой вершине, изображаемой кружком или точкой (рис. 2-5, а), ставится в соответствие одна из переменных.

Каждое ребро (дуга), изображаемое линией со стрелкой, указывающей направление прохождения сигнала, имеет соответствующий изображаемому этим ребром звену оператор.

Если из вершины исходит несколько ребер, то входная величина для всех них одна и та же. Это делает ненужным использование в графах точек разветвления.

Если к вершине подходит несколько ребер, то соответствующая ей величина равна сумме выходных величин входящих ребер. Это делает ненужным использование в графах сумматоров. Отдельные величины при этом не выписываются. Если же их нужно выделить и выписать, то вводятся промежуточные выходные вершины у каждого из ребер-слагаемых, соединяемые с входной вершиной последующего ребра вспомогательными единичными ребрами (рис. 2-5,6).

Агрегирование и декомпозиция структурных схем. Операция агрегирования состоит в замене нескольких уравнений, звеньев

или ребер одним, в результате чего число переменных уменьшается, вид схемы упрощается, но порядок уравнения повышается и соответственно звено усложняется.

Для агрегирования используются правила основных типов соединений звеньев.

Последовательность звеньев, соединенных так, что выход каждого из них, за исключением одного (последнего), соединен со входом одного последующего звена и только с ним, образует разомкнутую цепь (рис. 2-6). Этот вид соединения называется последовательным.

Если последовательно соединены п стационарных линейных звеньев с сосредоточенными   параметрами   с   передаточными • функциями W\, W2,Wn, то изображения выходных переменных звеньев будут (аргументы s у f(s) и X(s) опущены):

откуда

Группу последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев. Этим свойством уже не обладают нестационарные и нелинейные звенья. Им обладают не все виды линейных стационарных звеньев с распределенными параметрами.

Другой распространенный вид соединения — параллельное, при котором входные величины всех звеньев или ребер одина-

ковы, а выходные величины суммируются (рис. 2-7). Группу параллельно соединенных звеньев (ребер) можно заменить одним звеном (ребром) с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций отдельных звеньев (ребер):

Следующий распространенный вид соединения — встречно-. параллельное или обратное связывание, образующее замкнутый

контур (рис. 2-8). Точки входа и выхода обозначены соответственно А и В. В частности, таким видом соединения можно представить системы регулирования по отклонению. В них звено с передаточной функцией Wab{s)=Wq{s) рассматривается как объект, а звено с передаточной функцией Wba (s) — Wv(s)—как регулятор (или главная отрицательная обратная связь). На рис. 2-9 показана схема, для которой выводятся наиболее употребительные соотношения. Пусть х — регулируемая величина. В системе автоматической стабилизации [или автома-

тического поддержания заданного закона регулирования xo(t)] ошибка принимается равной1 e—x(t) —x0(t). Для этой схемы справедливы уравнения

Функция

является передаточной функцией ошибки по задающему воздействию, т. е. ошибки воспроизведения. Функция

является передаточной функцией ошибки по возмущению, а функция

— передаточной функцией регулируемой величины по возмущению. Она равна передаточной функции ошибки по возмущению. Функция

является передаточной функцией регулируемой величины по задающему воздействию, т. е. передаточной функцией воспроизведения.

В этих формулах W(s) —W0{s) Wp(s)—передаточная функция разомкнутой системы. Схема показана для отрицательной обратной связи; в случае положительной обратной связи в знаменателях приведенных передаточных функций будет выражение 1 — Wo (s) Wp (s).

Для многосвязной системы с несколькими регуляторами можно составить соответствующие матричные уравнения.

Для случая стабилизации, когда задающее воздействие постоянно, а его отклонение, следовательно, равно нулю, уравнение n-связного объекта, управляемого п регуляторами, часто приводят к виду

 

где X(s)—изображение вектора регулируемой величины (выход объекта; U(s)—изображение вектора управлений (выхода регулятора); F(s)—изображение возмущений; W(s)—передаточная матрица объекта по управлениям; P(s)—по возмущениям; R(s) и Q(s)—соответственно передаточные матрицы регуляторов по отклонениям и возмущениям, если рассматривается комбинированное регулирование. Если же регуляторы работают только по отклонениям, то в уравнениях (2-57) полагают Q(s)==0. Подставив U(s) из второго уравнения (2-57) в первое, после несложных преобразований получим:

где Е — единичная матрица. Умножив слева на обратную матрицу [W(s)R(s)-f-E]-1, получим:

Передаточная матрица замкнутой системы для отклонений относительно возмущений с

где =—>— знак присоединенной матрицы.

Для объединения произвольной группы ребер графа Мей-соном [90] была получена формула для передаточной функции между двумя произвольными вершинами графа А и В.

Назовем прямым путем между двумя заданными вершинами непрерывную последовательность ветвей одного направления, при прохождении которой каждая вершина встречается не более 1 раза. Искомая передаточная функция1

где k — число прямых путей между вершинами Л. и В; Wk — передаточная функция k-ro прямого пути, равная произведению передаточных функций входящих в этот путь ребер;

Д — определитель графа; — k-й минор определителя графа, получающийся путем удаления всех ребер и вершин, лежащих на k-м пути, а также всех ребер, входящих и исходящих из этих вершин.

Определитель Д находится по формуле

где W0i — передаточные функции различных контуров; W0iW0j— произведения передаточных функций   несоприкасающихся пар

контуров; WoiWojWok — произведения передаточных функций несоприкасающихся троек контуров и т. д.

Так, граф, изображенный на рис. 2-10, а, имеет между вершинами А и В три прямых пути и шесть контуров (обозначенных прерывистыми линиями). Передаточные функции прямых путей

Передаточные функции контуров  Определитель графа

Для нахождения минора Д1 исключим первый прямой путь (рис. 2-10, б). Тогда остаются только контуры W02 и Woe'.

После исключения второго пути (рис. 2-10, в) получим:  Исключение третьего пути дает также контур Woe, поэтому  Подставив найденные выражения в (2-59), найдем

Нетрудно видеть, что определитель графа инвариантен по отношению к точкам, между которыми ищется передаточная функция, напоминая тем самым выражения lTf в формулах (2-54) — (2-56) и lU^^+fl в выражении передаточной матрицы (2-58).

Расчленение (разбиение, декомпозиция). Расчленение состоит в замене одного сложного уравнения, схемы или графа совокупностью более простых и представляет собою операцию, обратную операции объединения. Для расчленения выражение передаточной функции разлагается на комбинации более простых сомножителей, слагаемых или выражений типа (2-54), после чего строится схема или граф, изображающие полученную комбинацию. Расчленение — операция не однозначная и может выполняться многими способами. Выбор удачной декомпозиции иногда может потребовать определенных навыков и искусства.

В качестве примера приведем преобразование уравнения п-го порядка в физических переменных у (вход) и х (выход)

к системе я уравнений первого порядка в переменных состояния Х\, х2,хп:

Представим операторные выражения для переменных х, у в виде

и перейдем к уравнениям

Обозначив

получим первые п — 1 из искомых уравнений в переменных состояния. Из уравнения для у получим последнее п-е. уравнение

При этом физическая переменная х выражается через абстрактные переменные состояния следующим образом:

Другие примеры декомпозиции будут приведены ниже в главе о типовых звеньях.

Трансформация. Сложные уравнения и схемы часто оказывается целесообразно подвергнуть преобразованию (трансформации), которое не изменяет числа переменных или порядка уравнения, но приводит схему к форме, более удобной по тем или иным соображениям (в частности, позволяет уменьшить число варьируемых параметров на 2—3 единицы). Принтом обычно уравнение приводят к нормализованной форме, в которой не только зависимые переменные, но и аргумент t безразмерны. Если в уравнении

заменить переменные:

где xq, ye, (б — постоянные базовые значения, то, учитывая, что

получаем из исходного уравнения  где

Поскольку уравнение (2-68) содержит три базовые величины, выбор которых произволен, в уравнении можно произвольно выбрать три коэффициента, но так, чтобы они отличались от нуля.

1. Выбрав ao = an = p\n—1, получим форму И. А. Вышне-градского

где

При этом

2.         Может быть использовано также преобразование, осно-ванное на работах Л. Эйлера, посвященных алгебраическимуравнениям. В этом случае получается

Тогда  При этом

Такая форма может оказаться более удобной и более наглядной для построения области устойчивости, чем форма И. А. Вышнеградского (см. § 6-1).

3.         В методе обобщенных параметров, предложенномО.К.Соболевым [48], выбираются an-2 = Pm= 1 и an_i = an-3=7:

где

причем

При использовании этого преобразования получаются простое и наглядное графическое представление областей устойчи-

вости и (при невысоких степенях я) достаточно простые аналитические  выражения для условий   устойчивости (см. § 6-1).

4. Самой распространенной в теории автоматического управления трансформацией уравнений и передаточных функций является приведение их к такой форме, в которой некоторые коэффициенты при переменных делаются равными единице. Так, уравнение

и соответственно передаточная функция

:путем деления обеих частей на ап, вынесения за скобки Ьт/ап :и обозначения К=Ьт/ап приводятся квиду

Коэффициент К называется коэффициентом передачи. Если переменные безразмерны или имеют одинаковую размерность, его называют также коэффициентом усиления.

Очевидно, что

Если переменная х и ее v — 1 производные в уравнение явно . не входят, т. е. если характеристическое уравнение системы име-•ет v нулевых корней, система будет астатической с астатизмом порядка v. Передаточная функция при этом приводится к виду

К при этом имеет размерность l//v и называется коэффициентом добротности.

Преобразование структурных схем и графов. Трансформация путем преобразования структурных схем и графов используется для упрощения конфигурации схем, например, для приведения многоконтурных схем к одноконтурным, устранения перекрестных обратных связей и т.д. и для упрощения нахождения передаточных функций сложных систем. Для преобразований используются правила переноса узлов, сумматоров и воздей-•ствий.

Для схемы рис. 2-11 при переносе узла из точки А на вход звена W\ для того, чтобы осталась неизменной величина у на

выходе переносимой цепочки, т. е. чтобы сохранилась эквивалентность схем 2-11, а и б, необходимо добавить в переносимую» ветвь звено с передаточной функцией Wiy так как y=W\W3z. На рисунках рядом с преобразованием   структурных схем!

показаны также преобразования на графах. Аналогичным образом можно без труда обосновать и все остальные правила переноса узлов и сумматоров, показанные на рис. 2-11, а — в и-2-12. Это рекомендуется проделать в качестве упражнения читателю.

На рис. 2-13 показаны перенос одного из двух воздействий,, подводимых к сумматору, и перенос всего сумматора с обоими» воздействиями.

Рисунок 2-14 иллюстрирует преобразование схемы с перекрестными обратными связями (рис. 2-14, а) в схему без пересечений связей (рис. 2-14,6). Далее, использовав правила последовательного и параллельного соединения, эту схему мож-

шо преобразовать в типовую одноконтурную с обратной связью (рис. 2-14,0), но для этого потребуется усложнение входящих в окончательную схему звеньев. С помощью показанных на рисунке преобразований легко находится и передаточная функция шеей системы:

Разнообразные способы преобразований структур и сигналов •более детально рассмотрены в [72, 73].

Правила переноса узлов и сумматоров можно сформулировать и для схем с нелинейными функциональными преобразователями, если в приведенных правилах заменить соответственно передаточные функции Wi, W2... функциональными операторами F\, F2..., а обратные передаточные функции W-l,W7Tl... операторами нахождения обратных функций F~l, F^-1...