3-1. СТАТИКА РЕГУЛИРОВАНИЯ '

Статика   изучает   равновесные установившиеся состояния при постоянных воздействиях. Уравнения статики формально-можно получить из уравнений динамики, приравняв в последних нулю все производные по времени переменных и воздействий. Так, из уравнений (2-1)   получаются   уравнения статики

из уравнений (2-19)—

и т.д. Но чаще уравнения статики составляются независимо. Задаются нелинейные уравнения статики элементов, из них получаются уравнения системы и находятся «рабочие точки», в окрестности которых далее производится линеаризация уравнений динамики. Нелинейные характеристики элементов обычно-задаются графически.

В процессе получения характеристик системы приходится находить статические характеристики группы соединенных между собой звеньев или системы в целом по характеристикам' звеньев.

Если два звена соединены последовательно, а выполняемые-ими нелинейные преобразования заданы в виде .Квых2=/2(*вх2),.

Л^выхJ==fl (^BXl), •^вх2==-^вых1, ТО

т. е. в эквивалентном звене, замещающем два последовательно-включенных, выполняется операция взятия функции от функции. Эта операция вообще не перестановочна, и нелинейные звенья в последовательной цепочке нельзя менять местами.

Результирующую характеристику двух параллельно включенных звеньев легко найти графически, построив характеристики I и II обоих звеньев в одинаковом масштабе на одном графике и просуммировав их ординаты.

На рис. 3-1 показано нахождение результирующей характеристики (IV) трех последовательно включенных звеньев (/, //, ///). Заданные характеристики звеньев строятся соответственно в квадрантах I, II и III, но так, чтобы характеристика каждого последующего звена была повернута на 90° против часовой стрелки относительно характеристики предыдущего звена. Задаемся некоторым значением хвх] (точка 1 на оси абсцисс) и затем, проводя от этой точки между кривыми отрезки прямых, параллельных координатным осям, как показано на рисунке, находим точки 2, 3, 4 и 5. Точка 5 — вершина замыкающего построение прямоугольника, принадлежит искомой статической характеристике соединения трех звеньев. Если соединяются два звена, то вместо характеристики /// строим биссектрису координатного угла (линия OA на рисунке).

На рис. 3-2 показана результирующая характеристика lit нелинейного звена /, охваченного нелинейной обратной связью-с характеристикой //. В первом квадранте построена характеристика звена /. Задавшись некоторым значением хвых (точка /), найдем значение хВ\ при наличии обратной связи. Без обратной связи хв'х=0а. Но при наличии обратной связи (отрицательной) отрезок 0а будет равен результирующему входному воздействию 0а=хвх — ср(*вых), где cp(xBbIX) —сигнал обратной связи (3-2, а). Поэтому для нахождения хвх к 0а надо прибавить величину воздействия обратной связи: xBX = 0a-f-cp(.vBbix).

Если во втором квадранте построить характеристику // обратной связи х0.с = ф(Хвых), направив ось х0.с влево, то величина Л'вх будет равна сумме отрезков 0а и 06, т. е. расстоянию от точки 2 до точки /. Перенеся этот отрезок измерителем по горизонтали вправо так, чтобы левый конец отрезка лег на ось ординат, получаем точку 3 результирующей характеристики.

При положительной обратной связи хвх = 0а—ср(х:Вых). Характеристику удобно строить в первом квадранте, совмещая ось Л'о.с с осью хвх (рис. 3-2,6). Искомая абсцисса Ос результирующей характеристики III равна разности: 0с = 0а — 06, т. е. расстоянию Ьа между кривыми / и //.

С помощью методики, показанной на рис. 3-1, можно решить и обратную задачу: по заданной нелинейной характеристике звена / найти характеристику, которой должно обладать последовательно включенное звено //, чтобы результирующая характеристика была прямолинейной. В тех же случаях, когда построение звена с нужной нелинейной характеристикой затруднительно, спрямление можно выполнить приближенно с помощью линейных звеньев.

На схеме рис. 3-3, а последовательно с нелинейным звеном / включен линейный усилитель' ky с большим коэффициентом усиления и образующаяся цепь охвачена обратной связью с коэффициентом       Без дополнительных звеньев имеем:

• с дополнительными элементами или

При достаточно большом ky получим:

т. е. нелинейность k0(xBX) как бы подавляется и результирующая характеристика приближается к характеристике линейного звена с коэффициентом 1/£0.о На рис. 3-3, б показано спрямление характеристики / при значениях £у=10, &0.с=1 (кривая //).

Пусть теперь линейный усилитель с большим коэффициентом усиления k охвачен нелинейной обратной связью х0.с = =/(хВых). Тогда

при достаточно большом k получим:

т. е. с увеличением k обратная результирующая характеристика системы приближается к характеристике обратной связи. Этот же эффект можно получить, охватив нелинейной обратной связью интегратор. Имеем TdxBUXfdt=xBX— f(xBblx). В установившемся режиме dxBblx/dt=0, откуда xBX=f(xBbIX) или #вых = =ф(*вх), где 9(#bx) — функция, обратная /(#Вых). Такого рода схемы с цифровыми интеграторами — следящие интеграторы — используются для воспроизведения обратных функций, в частности для решения алгебраических уравнений высоких степеней [12].

Спрямление характеристик с помощью усилителя и обратной связи используется в электроприводе. При этом происходит не только спрямление, но и сужение петли гистерезиса в результирующей характеристике.

Статические характеристики замкнутых систем. Рассмотрим обобщенную схему комбинированного регулирования одной величины (рис. 3-4, а). На объект О действуют возмущающее воздействие z (нагрузка) и управление и. Регулятор представлен в виде двух частей: Rx, реагирующей на отклонение х, и Rz, реагирующей на возмущение z. Статические характеристики объекта представлены на рис. 3-4, б семейством кривых /, обозначенных 2о, Z\...

Рассмотренная ранее методика должна быть расширена, поскольку объект представляет собою специфическое звено с двумя входами. Статическая характеристика такого звена может быть изображена поверхностью в пространстве х, и, z, что иногда и делается, например при построении пространственных профилированных кулачков, вводимых в систему управления в качестве модели статических свойств объекта. Но для исследова-

ния обычно удобнее пользоваться семейством плоских графиков jc—f{(u) при z=const или x—fziz) при w=const.

На рисунке кривая г0, соответствующая г = 0, есть кривая холостого хода объекта в семействе /.

Статическая характеристика регулятора по отклонению (при отсутствии канала воздействия по возмущению) показана линией Zo в семействе кривых //. Это — падающая кривая, так как при уменьшении х значение и должно возрастать. Точки пересечения этой кривой с характеристиками объекта дают значения х при различных возмущениях, устанавливающиеся в системе регулирования только по отклонению. По этим данным легко построить и характеристику регулирования x=F(z).

Если заданы статические характеристики регулятора по возмущению u—fz{z), то можно построить семейство характеристик комбинированного регулятора. Зададимся z—z{ и вычислим U\~fz(zx). Это воздействие добавится теперь к воздействию регулятора по отклонению, следовательно, сместив кривую 20 вправо на величину щ, получим'характеристику комбинированного регулятора для z—Z\. Так же находим значения для смещений характеристик при z=z2,Za и т. д. Получаем семейство/7 характеристик регулятора.

Отметим точки А0, Аи А2... пересечения кривых // регулятора и кривых* / объекта, имеющих одинаковые индексы. Через эти точки пройдет статическая характеристика системы комбинированного регулирования (прерывистая линия). При соответствующем подборе характеристик ее можно сделать горизонтальной прямой.

С помощью таких характеристик можно решать и обратные задачи подбора характеристик регуляторов.

О статике линейных систем. Для линейных звеньев и систем все характеристики легко находятся аналитически. • При параллельном соединении двух звеньев они имеют об

щую входную величину, а выходные их величины суммируются. Пусть

— уравнения статики звеньев. Уравнение результирующей статической характеристики их соединения

т. е. при параллельном соединении как постоянные составляющие, так и коэффициенты передачи (угловые коэффициенты) суммируются. Координаты х0, у0 рабочей точки должны удовлетворять последнему уравнению, поэтому х0= (ai-f-аг) + -j-&2)z/o- Вычитая это уравнение из предшествующего, получаем уравнение в отклонениях:

При последовательном соединении двух линейных звеньев с характеристиками

имеем

Для отклонений

В результирующей характеристике для отклонений коэффициент передачи двух последовательно включенных звеньев равен произведению коэффициентов передачи составляющих звеньев. Однако для постоянной составляющей этого утверждать уже нельзя.

При охвате линейного звена линейной обратной отрицательной связью имеем:

уравнение основного,звена х = а0-{-ко(у—х0.с);

уравнение обратной связи x0.c = a0.a-{-ko.aX;

уравнение вход-выход {\-\-kok0,c)x=aQ—k0a0,c-\-k0y\ отсюда

для рабочей точки

для приращении

Использовав полученный результат, рассмотрим уравнения статики линейной замкнутой системы регулирования по отклонению и возмущению, записанные для относительных отклонений переменных от рабочей точки:

уравнение объекта

уравнение регулятора по отклонению

уравнение регулятора по возмущению (нагрузке)

уравнение связи

Связь по отклонению отрицательна, по возмущающему воздействию— положительна, так как с возрастанием возмущающего воздействия необходимо увеличивать воздействие регулирующего органа. Решая (3-4) — (3-7) совместно, находим

Для регулятора только по отклонению

При v== — 1 (т.е. при изменении возмущающего воздействия от номинального значения до нуля) величина ср изменяется на ко/(l-\-k0kp). Это изменение было ранее названо статизмом регулирования (или статизмом системы бс). Коэффициент передачи замкнутой системы по отклонению равен статизму регулирования

Если объект астатический, то &0=оо и

т. е. статизм системы равен статизму регулятора. Если объект статический, но регулятор астатический, то kp = oa и статизм системы 6о = 0, т.е. система астатическая.

Регуляторы на параллельно работающих машинах. Если несколько машин со статическими регуляторами работают парал-

лельно на общую нагрузку (например, электрические генераторы на общую сеть), то при жесткой связи между ними регулируемая величина в установившемся режиме будет общей для всех машин.

На рис. 3-5 показаны статические характеристики двух машин, построенные так, что ось ординат, по которой откладываются значения регулируемой величины, для них общая, а оси абсцисс (нагрузок) направлены в противоположные стороны. Если в системе установилось некоторое значение регулируемой величины х\, показанное штриховой линией, то возмущающие воздействия на машины будут равны OAi и 0Л2 соответственно. Нетрудно видеть, что чем круче идет характеристика, тем меньшую долю возмущающего воздействия берет на себя машина.

Пусть схема отрегулирована так, что при отсутствии возмущающего воздействия машины работают на холостом ходу (т. е. нет перекачки энергии из одной машины в другую). Тогда

где бог — статизм регулирования f-й машины; v« — ее нагрузка. Отсюда

т. е. каждая машина берет долю общего возмущающего воздействия, обратно пропорциональную ее статизму регулирования. Следовательно, астатическое регулирование параллельно работающих машин в чистом виде непригодно', поскольку при этом распределение возмущающих воздействий между машинами становится неопределенным (фактически оно зависит от погрешностей в уставках регуляторов).

С помощью настройки коэффициентов статизма в регуляторах можно управлять распределением возмущающих воздействий между машинами.

Если регулирование системы из нескольких параллельно работающих агрегатов должно быть астатическим, применяют раз-

личные способы астатической коррекции при статическом регулировании. Один из способов, распространенных на электростанциях, состоит в том, что на одной машине устанавливается астатический регулятор, остальные же машины снабжаются устройством автоматического распределения возмущающих воздействий, которое смещает статические характеристики машин вверх или вниз.

О статике многосвязных систем. В некоторых производственных процессах требуется осуществлять одновременно регулирование нескольких переменных. Так, на электростанциях необходимо регулировать частоту (скорость вращения) и напряжение синхронных генераторов, на паровых котлах — температуру, давление пара, уровень воды, % со2 в отходящих из топки газах и т. п. В таких системах необходимо иметь несколько регулирующих органов, не меньше, чем число регулируемых величин. Обычно, хотя каждый из этих органов вызывает изменение всех величин, он в силу конструкции оказывает наиболее сильное влияние на одну из них. На изменение напряжения генератора наиболее сильное влияние оказывает возбуждение, на частоту— впускной клапан турбины; изменение курса самолета осуществляется рулем поворота, хотя при этом изменятся и другие координаты. Если построить для управления систему из нескольких «сепаратных» регуляторов, каждый из которых измеряет отклонения одной величины Xi и воздействует на единственный регулирующий орган, считающийся основным для данной величины, то фактически из-за наличия связей между переменными Xi через объект эти регуляторы будут также связаны между собою. Большая сложность исследования, расчета и настройки таких многосвязных систем привела к поискам путей преодоления этих трудностей.

В 1934—1938 гг. И. Н. Вознесенский предложил для этой цели принцип автономности регулирования. В соответствии с этим принципом на регуляторы накладываются дополнительные связи по переменным Х\ так, чтобы при ликвидации возникшего отклонения одной из переменных система восстанавливала только ее отклонение, остальные же переменные оставались при этом неизменными. При этом достигалось также (в рассмотренных И. Н. Вознесенским примерах) расчленение системы на ряд независимых друг от друга систем регулирования одной величины. В примерах Вознесенского регулирование по каждой величине описывалось уравнением первого порядка, а регуляторы были безынерционными. Упрощение анализа и возможность расчленения системы на простейшие представлялись настолько заманчивыми, что идея автономности долго привлекала внимание.

Исследование автономности в общем виде было выполнено в 1950 г. А. С. Боксенбомом и Р. Худом. Рассмотрим с помощью их метода условия статической автономности, т. е. независимости значений переменных друг от друга в статике.

Исходные уравнения статики, полученные на основе физического обследования,

могут содержать, кроме управляемых переменных, еще ряд промежуточных и общее число переменных N больше числа управляемых переменных п. Первое требование к системе состоит в том, чтобы она была разрешима относительно переменных, т.е. чтобы ранг матрицы А был не меньше N, так же как и ранг расширенной матрицы. Тогда из уравнений (3-12) можно получить уравнения для регулируемых переменных

Цепочку в структурной схеме, соответствующую (3-13), назовем каналом координаты х\. Можно сказать, что через канал

осуществляется косвенное  измерение  интегрального эффекта

k

группы возмущений ^ wijfj посредством переменной хи -

Система, естественно, должна быть управляемой в том смысле, что для каждого заданного набора переменных х={хи ...г хп} и возмущений f = {/ь .., fh} можно найти набор управлений u = Ui, ит, обеспечивающий эти заданные значения х. Для нахождения такого набора можно решить обратную задачу: считая заданными х и f, находим значения и, т.е. решаем систему уравнений (3-13) относительно щ. Чтобы эта система была разрешима, необходимо, чтобы число уравнений было не меньше числа переменных, т.е. т^п, и чтобы ранги матрицы V и расширенной матрицы V-f-W были не меньше п. Если т>п, т.е. имеются избыточные управления, задача решается неоднозначно и имеется возможность наложить на систему дополнительные условия, например условия оптимальности. Однако рассмотрение таких задач с избыточностью будет далее, здесь же будем считать m = n=k. Тогда задача формулируется так.

Пусть задана система уравнений объекта (3-13), где va и Wij — передаточные коэффициенты. Будем искать коэффициенты связей Cj-j по переменным для регулятора по отклонению, уравнение которого задается в виде

так, чтобы выполнялись некоторые дополнительные условия. Число связей Сц равно п2, следовательно, можно задать п2 условий.

Подставим (3-14) в (3-13). Получим систему уравнений  Определитель системы

Решения относительно хс

где |E+VC|ij — алгебраические дополнения элементов Ц.

Условия автономности, выражающие независимость изменений переменных друг от друга, имеют общий вид:

Общее число таких равенств при любых i, / равно п2, число равенств с одинаковыми индексами равно п; таким образом, число условий автономности равно п2—п. Это означает, что п коэффициентов Сц можно выбрать произвольно. Будем считать, что п «собственных» коэффициентов сц заданы, и выразим через них остальные п2—п «взаимных» коэффициентов сц, 1ф\.

Продифференцируем по Xj, \Ф1 уравнения (3-14) с учетом (3-18)

Продифференцируем (3-13) по Xj, \ф"ь с учетом (3-18) и (3-19). Получим систему уравнений

Запишем левую часть уравнений (3-20) в виде

где бц = 0 при 1фй и 6fj=l при i=d (символ Кронекера). Обозначим через Vn алгебраическое дополнение элемента vi} определителя \V\ и воспользуемся известными соотношениями

Умножим обе части уравнений (3-21) на Vu и просуммируем по индексу i:

Cjh можно вывести из-под знака суммы по i и левую часть равенства (3-23) привести к виду

так как внутренняя сумма в левой части последнего выражения в соответствии с (3-22) отлична от нуля и равна \V\ лишь при /=/. В правой части (3-23) вынесем за знак суммы по / множитель Vu, приведя ее к виду

так как внутренняя сумма в левой части последнего выражения отлична от нуля лишь при i=k. Тогда

В частности, полагая l=k, находим:  Разделив (3-25) на (3-26), получим:

Взаимные связи выражены, таким образом, через собственные. Подставив их значения в (3-17), после преобразований получим:

При этом было учтено, что при выполнении условий автономности определитель |E-f-VC| становится диагональным

и соответственно

В качестве дополнительных условий для выбора коэффициентов сц можно, например, использовать условия, чтобы ста-тизмы по всем переменным имели заданные значения 6*:

отсюда

Условия статической инвариантности. Принцип инвариантности, предложенный в 1939 г. Г. В. Щипановым, состоит в том, что для обеспечения независимости переменных от возмущений обращаются в нуль миноры определителя, стоящие при этих возмущениях в качестве множителей. При устранении влияния части возмущений инвариантность называется частичной, при компенсации всех возмущений — полной, или полиинвариантностью.

Обозначим матрицу коэффициентов при х уравнениях (3-15) через А, а уравнения запишем в матричной форме:

Решение этих уравнений имеет вид:

Условия статической инвариантности можно записать в виде

Это — частичные условия инвариантности для координаты Х{, но по всем возмущениям. Составив аналогичные уравнения для всех г=1,     п, получим условия полиинвариантности.

Рассмотрим группу условий для координаты xit Если k = n, то получаем п однородных уравнений, в общем случае линейно независимых, в которых неизвестными являются алгебраические дополнения Ац, зависящие от искомых связей сц. Решение уравнений тривиально: Aji — О, /=1, п. Для полиинвариантности нужно получить такие же условия для всех t=l, .., п. Это означает, что все элементы матрицы А будут нулевыми и |А|== = 0. Решение не имеет смысла. Нуль в числителе (3-29) имеет меньший порядок, чем нуль знаменателя, и решения не существует ((формально оно равно бесконечности для всех отклонений). Чтобы решение стало возможным, необходимо (но недостаточно), чтобы число независимых, приложенных к различным входам возмущений k, было не больше, чем число п независимых каналов передачи воздействий.

Отсюда вытекает следующее утверждение. Для того, чтобы была осуществима' статическая инвариантность по k независимым возмущениям в системе регулирования по отклонению, необходимо, чтобы число независимых каналов передачи (измерения) воздействий было не меньше k-\-l.

Условие, что в системе регулирования по отклонению для осуществления инвариантности по одному возмущению необходимо иметь не менее двух каналов, было сформулировано в 1955 г. Б. Н. Петровым. Его называют принципом двухканаль-ности.

Если в структуре системы содержится меньше, чем £+1 канал, то ее можно дополнять, вводя новые каналы непосредственного измерения возмущений, т. е. переходя к комбинированному регулированию по отклонениям и возмущениям. Каждый непосредственный измеритель представляет собой цепочку передачи воздействия, принципиально не. отличающуюся от любой другой цепи связи в регуляторе по отклонению, разве только тем, что в силу конструкции она работает избирательно, пропуская только одно воздействие, т.е. для нее wtj=0, ьф].

В системе регулирования по отклонению любая цепь по существу также является цепью измерения возмущения, но так как при ее построении эта цель непосредственно не ставилась, можно сказать, что она служит цепью косвенного измерения воздействий. Сущность принципа компенсации не в наличии измерения возмущений, а в построении алгоритма управления, компенсирующего их влияние. Автономные и инвариантные системы поэтому можно отнести к системам комбинированного управления.

Если в системе установлено k измерителей возмущений то, компенсация может быть осуществлена и без регулятора по отклонению, поскольку дополнительным (&-f-l)-M каналом явля

егся сам управляемый объект. В этом случае наличие управляющих воздействий по отклонениям может быть использовано для получения дополнительных качественных показателей. Но обычно их используют для прямого назначения — контроля результата действия компенсирующих цепей, поскольку не все возмущения известны, а для тех, которые известны, значения тц можно оценить обычно с малой точностью и т.д.

Условия автономности и инвариантности можно получить не только для установившихся значений, но и для переходных процессов, однако там условия реализуемости будут более трудными.

Пример. Даны уравнения двухсвязного объекта

Уравнения регулятора по отклонению

Определитель системы Решения

Условия статической автономности

Решения при выполнении условий статической автономности

В случае двухсвязного объекта с двумя возмущениями условия автономности совпадают с условиями частичной инвариантности переменной xi по возмущению /2 и переменной х2 по возмущению /). Любопытно, что автор принципа автономности в дискуссии с Г. В. Щипановым этого не заметил и отрицал реализуемость принципа инвариантности вообще.

Поливариантность в данном случае нереализуема, так как для передачи двух независимых возмущений имеются только два независимых канала.

Если ввести в регуляторы воздействия по возмущениям:

то статическая полиинвариантность становится осуществимой. В самом деле, решения уравнений в данном случае:

Статическая полиинвариантность обеспечивается при условиях  откуда

Поскольку число каналов теперь равно четырем, т. е. избыточно, полиинвариантность обеспечивается даже при отсутствии регулятора по отклонению, т. е. при Cii = Ci2 = C2i = C22 = 0. Рассмотрим теперь двухсвязную систему вида

Здесь одно возмущение / передается по двум независимым каналам, и полиинвариантность можно обеспечить только регулятором по отклонению. В самом деле, имеем

Условия инвариантности откуда