3-2. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В теории управления большое распространение получили частотные методы, основанные на изучении характеристик систем при синусоидальных внешних воздействиях одной частоты (гармонических воздействиях)

где со = const — угловая частота; /l = const — амплитуда; 0i = = const — фаза.

Для любой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при воздействии вида .(3-31), если только /© не является корнем ее характеристического уравнения, существует единственное частное решение

и если система устойчива, то это частное решение и выражает установившееся движение в системе.

Исследование движений в системах с гармоническими воздействиями значительно удобнее выполнять, если вместо тригонометрических использовать комплексные гармонические функции

Метод комплексных'гармонических функций широко распространен во многих инженерных дисциплинах (электротехнике, механике и др.) и не нуждается в детальном обосновании. Функции (3-31) и (3-32) удовлетворяют исходной системе уравнений тогда и только тогда, когда ей удовлетворяют и гармонические функции (3-33). Искомые параметры Б и 02 выражаются через параметры А и 0i при этом одинаково в обоих случаях.

Передаточная функция линейной системы или звена при мнимом значении ее аргумента s=/co называется комплексной частотной или просто частотной характеристикой системы (звена). Так, для звена с дифференциальным уравнением

частотная характеристика

В соответствии с (2-43), если учитывать, что w(t)=0 при t<to,

т.е. частотная характеристика является преобразованием Фурье для импульсной переходной (весовой) функции системы (звена). Следует отметить, что для неустойчивой системы интеграл

ею

J \w(t)\dt будет расходящимся и определять частотную харак-

—со

теристику такой системы по формуле (3-36) нельзя. Заметим еще, что фазы 0i и 02 зависят от выбора начала отсчета времени и там, где этот выбор несуществен, удобно принять 9i = 0.

Тогда

Этими выражениями и будем пользоваться в дальнейшем.

Аналогично можно показать, что в результате подстановки (3-33) в уравнение (3-34) получим для каждого co = const

Сокращаем на е'ю': Отсюда

или

т.е. модуль частотной характеристики равен отношению амплитуд выходной и входной гармонических величин, а ее аргумент— сдвигу фаз между ними. Эти зависимости удобно использовать: 1) для вычисления параметров выходных колебаний по заданной передаточной функции; 2) для графоаналитического нахождения их по имеющемуся графику частотной характеристики; 3) для экспериментального нахождения частотной характеристики, если математическое описание звена неизвестно или слишком сложно.

Вычисление частотной характеристики и параметров колебаний. Пусть

Тогда

Функции Р(со) и S(co) называются соответственно вещественной и мнимой1 частотными характеристиками. Р зависит от

со2 и является четной функцией, а 5 представляет собой произведение четной функции на со и поэтому является нечетной функцией. Следовательно,

Параметры Б и 0 вычисляются по формулам

График или годограф частотной характеристики строится в осях Р и 5 комплексной плоскости. Каждому значению со на графике соответствует точка. Но, поскольку в выражении частотной характеристики вместо вещественных функций sin со^ и cos со^ были использованы комплексные е'т\ связанные с тригонометрическими функциями выражениями sin Ы— -~ (e'at —

— e~iat), cos(at=-^-(e',&t-\-e~i<i>f), то теперь для получения полного представления о процессах в системе частотную характеристику нужно строить не только для положительных значений со>0, но для всего интервала1 — co-gito^co. Однако в силу свойств (3-40) характеристика симметрична относительно вещественной оси Р, и поскольку ветвь, соответствующая отрицательным со, является зеркальным отражением ветви для положительных со, т. е. однозначно и просто определяется из ветви для со>0, то для практических целей достаточно построить только одну ветвь характеристики, соответствующую положительным (0.

Рассмотренная ранее частотная характеристика называется амплитудно-фазовой. Помимо нее, используются и другие формы частотных характеристик. Часть из них строится в комплексной плоскости, часть в вещественной. Из характеристик в комплексной плоскости отметим обратную (инверсную) частотную характеристику .

вычисление и построение которой оказываются значительно проще, чем прямой, если степень числителя передаточной функции нулевая или намного меньше, чем степень знаменателя.

Оказывается, что характеристики №(/со) и G(/co) дают исчерпывающее представление не только о свойствах системы в установившемся периодическом режиме, но и в переходных процессах при импульсных и ступенчатых воздействиях, а при некоторых дополнительных построениях — при любых воздействиях. По частотным характеристикам можно также судить об устойчивости системы.

Частотная характеристика W(jca), построенная для разомкнутой системы, называется также кривой Найквиста. Так как при исследованиях систем регулирования с обратной связью часть методов использует характеристики разомкнутых, а другая часть — характеристики замкнутых систем, в дальнейшем для удобства различения будет использоваться обозначение W(/co) для частотных характеристик разомкнутых систем, а Ф(/со) —для замкнутых систем.

При исследовании устойчивости не имеет значения, какие именно входная и выходная переменные связываются выражением передаточной функции и соответствующей частотной характеристики. В тех случаях, когда ясно, о каких входной и выходной переменных идет речь, или же когда это не имеет значения, обозначения частотных характеристик будут использоваться без индексов. Но при вычислении переходных процессов, ошибок и т. п. в определенных узлах схемы при определенных воздействиях, когда нужно указать, о каких переменных идет речь, будет использоваться индексация. Так, обозначение. Wxy{j(i>) указывает, что частотная характеристика составлена для входной переменной у и для выходной переменной х.

Для исследования только устойчивости часто используется кривая А. В. Михайлова — годограф комплексного характеристического полинома

который строится в осях ф, -ф. Поскольку кривая Михайлова не учитывает оператора правой части исходного дифференциального уравнения, она не дает полного представления обо всех динамических свойствах системы. Однако она позволяет получить условия устойчивости системы.

Из частотных характеристик в вещественной плоскости отметим вещественную Р(ш) и мнимую S(o) характеристики, упомянутые выше. Осью абсцисс для них является ось со. Используются также амплитудная #(со) = | W(jca) | и фазовая 0 (со) = = arg Щ/со) частотные характеристики.

Для практических целей особо часто используются логарифмическая амплитудная и полулогарифмическая фазовая характеристики.

Перед построением логарифмической характеристики выражение Щ/со) приводят к нормированному виду:

где К — коэффициент передачи (усиления), а характеристика W0(ja) имеет единичный коэффициент передачи:

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) обозначается Lmff(to) и определяется как L

где #о= | ^о(/со) |. График строится в логарифмическом масштабе. По оси абсцисс откладываются значения lg со. Но часто для удобства считывания равномерная логарифмическая шкала (как и на логарифмических линейках и бумагах) не наносится, а ставятся только отметки значений со, расположенные неравномерно. За единицу масштаба по оси ординат принимают децибел (дБ). Относительному числу N соответствует 2\gN, Б (бел), или 20 IgN, дБ. Эти единицы заимствованы из акустики. Усиление сигнала; при котором мощность возрастает в 10« раз, считается равным q, Б. Мощность пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому если коэффициент усиления равен К, то мощность возрастает в К2 раз, а логарифм — на 20 lg К, дБ.

В первых работах по логарифмическим характеристикам, опубликованных в США, довольно экзотичной была и единица масштаба по оси абсцисс — октава, равная интервалу между первой и восьмой нотами музыкальной гаммы, или расстоянию между 2со и со по логарифмической шкале, т.е. lg 2со—lgсо = = lg 2=0,30103.

Введение в более поздних работах декады вместо октавы было первым шагом в приближении к десятичной системе. Декада соответствует интервалу частот между 10© и со:

Для полного перехода к десятичной системе и по оси ординат следовало бы перейти к белам, но только по отношению к коэффициентам усиления, а не их квадратам, считая, что в числе К будет \gK логарифмических единиц. Чтобы не путать эту единицу с привычным определением бела, назовем ее десятичной логарифмической единицей, или логом. Длина отрезка по оси ординат, соответствующая логу, будет lgl0=I. В соответствии с этим 1 лог=2 Б = 20 дБ. Единичный наклон прямой к оси абсцисс будет соответствовать одному логу на декаду (20 дБ/дек или б дБ/окт). Выражение для ЛАХ в десятичных логарифмических единицах

В основном в дальнейшем будут использоваться наиболее удобные выражения параметров характеристик в логах, но многие из них будут дублироваться наиболее привычными выражениями в децибелах.

Динамические свойства линейной системы с передаточной функцией O(s) полностью описываются частотной характеристикой

Для описания можно воспользоваться либо кривой Ф(/со) в комплексной плоскости, либо одной из пар Р(со), 5 (со) или Я (со), 6 (со) в вещественной плоскости.

Если функция O(s) имеет только левые полюсы, то, как известно из теории преобразования Фурье, функции Р(со) и 5 (со) однозначно определяют друг друга и связь между ними дается преобразованиями Гильберта

поэтому в асимптотически устойчивых системах для определения переходных процессов достаточно знать только одну из характеристик Р(со) или 5(со). Но для возможности суждения о процессе только по одной из характеристик lg Я (со) или 6 (со) устойчивости системы уже недостаточно. В самом деле, логарифмируя Ф(/со), найдем

Чтобы приведенные выше преобразования Гильберта можно было применить к In Я (со) и 6 (со), необходимо, чтобы слева от мнимой оси находились все особые точки функции In ©(s). Если ©(s)—дробно-рациональная функция, т. е. Ф (s) =М (s) / D (s), то In ©(s) =ln M (s)—lnD(s) и особенностями ее являются не только нули D(s) [т. е. полюсы ©(s)], но и нули M(s) [т. е. нули ©(s)]. Поэтому однозначная связь-между In Я (со) и 6 (со) имеет место лишь в том случае, когда слева от мнимой оси находятся и нули и полюсы передаточной функции. Системы, передаточные функции которых обладают этим свойством, называются минимально-фазовыми. Для минимально-фазовых систем преобразования Гильберта функций In Н(со) и 6 (со) имеют вид:

Последнюю формулу можно также преобразовать к виду, более удобному для приближенных построений:

Приближенные методы построения фазовой характеристики по амплитудной, использующие последнюю зависимость, рассмотрены в [75].