3-3. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК

Рассмотрим сначала некоторую линейную систему, на которую воздействует входная переменная f(t) и на выходе которой возникает процесс x(t). Передаточная функция системы по отношению к этим переменным равна O(s). Полное решение дифференциального уравнения систем равно сумме частного решения (вынужденная составляющая) и решения однородного уравнения (свободная составляющая). Частное решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде

где w(t) —весовая функция; t0 — момент приложения воздействия f(t). В устойчивых системах решение однородного уравнения с течением времени асимптотически затухает и общее решение стремится к частному.

Установившимся движением называют то предельное движение, которое определяется частным решением в случае, когда воздействие было приложено к системе бесконечно давно и свободная составляющая полностью затухла. Для нахождения установившегося движения положим в (3-44) t0=—оо. Тогда

Пусть система предназначена для воспроизведения входной функции y=f(t), т. е. требуется, чтобы в идеальном случае имело место равенство xycr(t)=f(t). Ошибкой воспроизведения называется величина

Предположим, что f (i) разложима в ряд Тейлора:

Тогда (3-45) приводится к виду

В устойчивой системе интегралы в последней формуле — сходящиеся. В соответствии  с   определением преобразования

то

Лапласа J- w(x)e~sx dx=<b(s) и, следовательно,

о

поэтому

Из (3-46) и последнего выражения следует:  Величины

называются коэффициентами ошибок. При отыскании сг можно избежать вычисления производных <I>(r)(s), расположив члены числителя и знаменателя O(s) по возрастающим степеням s и выполнив деление по правилам алгебры. Тогда

Коэффициенты ошибок связаны со значениями kr соотношениями

т Рассмотрим систему воспроизведения воздействия xQ(t) по схеме рис. 2-9. Уравнение объекта

Уравнение регулятора

Уравнение ошибки

Изображение ошибки

Введем нормированные передаточные функции регулятора и объектагде К? и Ко — соответственно ко-

эффициенты передачи регулятора и объекта; WPo(s) и W0q(s) — их нормированные передаточные функции с единичными коэффициентами передачи; vp и v0 — порядки астатизма регулятора и объекта. Из (3-53) после введения этих обозначений получим:

гдеК=КоКР; W0(s) =W0o(s) Wv0(s).

Первое слагаемое с множителем X0(s) соответствует собственной ошибке ес воспроизведения, второе с множителем F(s) — ошибке ен от нагрузки.

В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим два вида воздействий — единичное постоянное

и воздействие, меняющееся с постоянной скоростью v,

При постоянных воздействиях х0 и f установившиеся ошибки ес(оо) и ен(оо) будут:

Из этих выражений следует, что при постоянных воздействиях:

а) если объект и регулятор статические (vo=vp=0), то  т. е. обе составляющие установившейся ошибки постоянны;

б)        если объект статический (vo=0), а регулятор астатиче-ский (vp=l), то

т. е. обе установившиеся составляющие отсутствуют;

в)         если объект астатический (v0=l), а регулятор статиче-ский (vp=0), то

т. е. собственная установившаяся ошибка воспроизведения отсутствует, а установившаяся ошибка от возмущающего воздействия постоянна и обратно пропорциональна коэффициенту передачи регулятора Кр.

При воздействиях, меняющихся с постоянной скоростью и;

а)         если и регулятор и объект статические, то

т. е. обе составляющие ошибки неограниченно возрастают с течением времени по абсолютной величине;

б)        если регулятор статический, а объект астатический, то

т. е. собственная установившаяся ошибка воспроизведения, называемая в данном случае скоростной ошибкой, постоянна, пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна коэффициенту К, называемому в этом случае коэффициентом добротности и имеющему размерность l/t;

в)         если регулятор астатический, а объект статический, то

т. е. обе скоростные ошибки постоянны.

Вообще нетрудно убедиться, что если суммарный порядок астатизма системы v0+vp равен порядку г высшей ненулевой производной функции Xo(t), то система имеет постоянную установившуюся ошибку воспроизведения

Если же порядок астатизма системы выше г, собственная ошибка воспроизведения обращается в нуль. Этого можно в принципе добиться, включив последовательно с регулятором r-f-1—v0—vp интегрирующих звеньев, т. е. повысив порядок аста-

тизма системы до   Однако при этом обеспечение устойчи-

вости системы настолько затрудняется, что практически порядок астатизма выбирается равным нулю или единице, а астатизм второго порядка используется крайне редко.