4-2. ТИПОВЫЕ АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА

При расчленении схемы на элементарные звенья она обычно становится чрезмерно детальной, громоздкой и малонаглядной, поэтому в САР широкое применение находит расчленение на типовые звенья несколько более сложной структуры, чем элементарные, но больше соответствующие реальным элементам.

Неидеальное интегрирующее звено. Строго говоря, любое реальное интегрирующее звено неидеально. Рассмотрим звено с передаточной функцией

При заданной частоте ю модуль и фаза частотной характеристики идеального интегрирующего звена соответственно равны К/&   и   —я/2,   а   рассматриваемого   звена соответственно

и —arctg (1/—соГ). Найдем ошибки по модулю и фазе.

При малых соТ можно считать

т. е. относительная ошибка по модулю примерно равна —ю2Г2/2. При малых со Г фаза —arctg (1/—соГ)«—я/2—соГ, и ошибка по фазе составляет примерно —cot" радиан. Можно считать, что для интегрирования соГ не должна превышать величины 0,1; тогда максимальная ошибка по модулю будет —0,5%, а по фазе —6°.

Иногда грубое интегрирование выполняют и с помощью статического звена, например схемы на рис. 4-1, е. Для нее

где T—RC.

Для этой схемы на больших частотах ошибка по модулю примерно равна— 1/2со2Т2, по фазе 1/со7\ Схема в отличие от предыдущей лучше интегрирует высокочастотные сигналы. Ее можно использовать при cof> 10.

Неидеальные дифференцирующие звенья. На рис. 4-3, а показана цепь, для которой

где T=CR.

Погрешность дифференцирования можно уменьшить, выбрав Т достаточно малым и компенсировав при этом уменьшение числителя последовательным включением усилителя с большим коэффициентом усиления К (рис. 4-3, б):

Другой пример приближенного дифференцирования — дифференцирующий трансформатор (рис. 4-3, в). Его уравнения

«откуда  тде

Если рассеянием и значением R2 по сравнению с RH можно пренебречь, _ то L\L2—М2=0, Ti=Lx/Ru T2=L2/RH, T=M/RX и

Рассмотрим динамические характеристики для звена (4-20). Переходная функция

В момент включения h(0)=K, т. е. выходная величина изменяется скачком (рис. 4-4, а). Импульсная переходная функция

Амплитудно-фазовая характеристика  После несложных преобразований получим  где обозначено

Уравнение (4-25) соответствует окружности с центром на вещественной оси на расстоянии /С/2 от начала координат (рис. 4-4, б). Полуокружность в верхней полуплоскости соответствует положительным, в нижней — отрицательным ю; при со= =оо имеем точку К на вещественной оси, при ю=0 — начало координат. Обратная частотная характеристика

изображается прямой, параллельной мнимой оси (рис. 4-4, в). Звено можно считать дифференцирующим при малых cot. Относительная ошибка дифференцирования по модулю, если <о2Р<1,

ошибка по фазе

Логарифмическая амплитудная характеристика

Уравнение высокочастотной асимптоты получим, пренебрегая единицей по сравнению с ©2Т2:

Уравнение низкочастотной асимптоты получим, пренебрегая ©2Г2 по сравнению с единицей:

"Это прямая с наклоном +1 лог/дек, имеющая при ©1=1/7" ординату \gK и пересекающаяся в этой точке с высокочастотной асимптотой. Частота ©i называется сопрягающей частотой. Приближенная ЛАХ — ломаная линия, образованная отрезками асимптот (рис. 4-4, г). Погрешность при такой замене максимальна при сопрягающей частоте и равна lg 1^2=0,15.

Логарифмическая фазовая характеристика

Фазовая характеристика имеет асимптотами горизонтальные прямые: 0Н=9О° — низкочастотная и 6В=0 — высокочастотная асимптоты (рис. 4-4, д). При сопрягающей частоте ©1 = 1/7" значение 0(coi)=45°.

Фазовая логарифмическая характеристика также может быть аппроксимирована тремя отрезками: до частоты ©2=0,1/7"—прямая 0=90°; начиная с частоты ©з=10/7"— прямая 0=0; между ними — прямая с наклоном —45°/дек. Ошибка при этом не превышает 6°. Звено можно считать дифференцирующим при ©7"<0,1.

Идеальное форсирующее звено. Введение производных в закон регулирования осуществляется обычно с помощью так называемых форсирующих звеньев. Идеальное форсирующее звено осуществляет сложение выходной величины с ее производной и имеет передаточную функцию

Пример приближенной реализации форсирующего звена показан на рис. 4-5, а. Напряжение и\ вторичной обмотки дифференцирующего трансформатора TP, пропорциональное (приближенно) производной напряжения первичной обмотки, суммируется с напряжением и2, снимаемым с делителя напряжения ДН.

Частотная характеристика Щ/©) = 1+/юТ — прямая, параллельная мнимой оси. ЛАХ аппроксимируется отрезком действи-

тельной оси левее сопрягающей частоты coi=l/T и прямой с наклоном 1 лог/дек правее нее (рис. 4-5,6). Фазовая характеристика 6=arctg соГ показана на рис. 4-5, в. Переходная функция равна сумме 1(0 и Т8(t).

Устойчивое звено первого порядка общего типа. Рассмотрим

звено с передаточной функцией

В этом звене при Т2>Т\ преобладает форсирование (дифференцирование), при Т\>Т2 — инерцион-. ное запаздывание (интегрирование), отсюда употребляемое иногда название — интегродифференцирую-щее звено.

При Г2=0 оно превращается в часто используемое звено, называемое также статическим звеном первого порядка, инерционным, апериодическим, одноемкостным.

Рассмотрим основные характеристики звена первого порядка общего типа.

Переходная функция

Ее вид показан на рис. 4-6, а для 7*2=0, на рис. 4-6, б — для Ti>72, на рис. 4-6, в — для 7,2>7,]. Весовая функция

Амплитудно-фазовая характеристика

Обозначим а=Т2/Ти Щ/со) =P+/S. Находим а>2=(Р—К) / '/Т\(К&—Р) и исключаем ю. Получаем S=J/(P—К) (Кос—Р). Возводя в квадрат и перенося члены, содержащие Р, в левую часть, после некоторых преобразований с целью выделения полного квадрата получим:

Это — уравнение окружности с центром на вещественной оси

где расстояние центра от начала координат Ь= (1 +сх) /С/2, а радиус R= | (1-сс) К/21.

Расположение окружности для случаев Т2=0, Т\>Т2 и Т\<.Т2 соответственно показано на рис. 4-7, а, б и в. Рядом, на рис. 4-7, г,д и е, изображены обратные частотные характеристики.

Логарифмическая амплитудная характеристика

Аппроксимирующая кусочно-линейная характеристика до первой сопрягающей частоты горизонтальна: S?i(©)=lg/С

Далее, если Г2=0, она представляет прямую с наклоном — 1 лог/дек, сопрягающуюся с низкочастотной асимптотой в

точке ©i = l/7i (рис. 4-8, а). Если Т2¥=0, то 7*1 >Г2, наклонная прямая идет до частоты со2=1/72, после чего переходит в горизонтальную   высокочастотную   асимптоту   (рис. 4-8, б). При 72>7i вид ЛАХ показан на рис. 4-8, в. Фазовая характеристика

При Т2=0 низкочастотной асимптотой фазовой характеристики будет ось абсцисс 9Н=0, высокочастотной 8В=—я/2. При

Фазовую характеристику можно аппроксимировать отрезками прямых. Рассмотрим это построение для случая

В интервале coO.l/Ti характеристика имеет горизонтальный участок 6н(со)=0. В интервале 0л/Т1<.(д-<0л/Т2 ее наклон равен —45°/дек> в интервале 0,1/Г2<со<Ю/Ti она снова горизонтальна, в интервале 10/71<со< 10/72 наклон равен +45°/дек, при ю>10/Г2 характеристика совпадает с осью абсцисс. Фазовая характеристика для этого случая показана на рис. 4-8, г (характеристика 1). Для случая 0,1/Т2<0,1/7,]<1/72<1/7,1< <С 10/r2<10/ri на том же рисунке показана характеристика 2.