4-3. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО ВТОРОГО ПОРЯДКА

Статическое звено второго порядка, описываемое уравнением

при T2>2Ti (что соответствует вещественным корням характеристического уравнения) может быть расчленено на два последовательно включенных звена первого порядка. Неидеальное интегрирующее звено с передаточной функцией (4-19) также может быть представлено как последовательное соединение идеального интегрирующего звена и звена первого порядка. Если же корни характеристического полинома комплексны, звено второго порядка относится к типовым и называется колебательным.

Решив уравнение (4-39) при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях, найдем переходную функцию колебательного звена .

Угол сдвига фаз

Если a-Ccoft, то 0»—я/2. Точки касания кривых K{\±e~ai) и h (t) имеют абсциссы я, 2я, Зя...

Представляют интерес переходные функции, построенные для решения уравнения в форме Вышнеградского

где А—Т2/Т\. Истинное время t и частотасо^ связаны с безразмерным временем т и частотой Qk уравнения (4-41) соотношениями

На рис. 4-9 показано семейство переходных функций для уравнения (4-41) для разных значений А, лежащих в интервале от 0 до 2 (при А = 2 процесс перестает быть колебательным). Переходная функция

гдеВид этой функции показан на рис. 4-10, а.

При А = 2 корни кратны и

Импульсная переходная функция

Примерный ее вид показан на рис. 4-10,6. Амплитудно-фазовая характеристика (Q = Qk)

На рис. 4-11, а показано семейство характеристик для разных значений А и для /С=1, Q = (o = Qh- В скобках указано на одной из кривых также значение величины £=А/2, часто используемой в руководствах по автоматическому регулированию. На рис. 4-11,6 приведены обратные частотные характеристики

Логарифмические характеристики

для /(=1 и разных А приведены на рис. 4-12 и 4-14. На рис. 4-12 нанесены точные ЛАХ и их кусочно-линейная 'аппроксимация. Высокочастотная асимптота имеет наклон — 2 лог/дек. Из графиков видно, что в пределах 1,4> >Л>0,7 ЛАХ можно заменить отрезками асимптот с погрешностью, не превышающей 0,15 лог. За этими пределами требуется строить точную кривую. Для облегчения построения на рис. 4-13 приведены значения поправок к кусочно-линейной характеристике.

Если на колебательное звено воздействовать гармонически изменяющейся внешней силой, то наибольшая амплитуда выходных колебаний будет иметь место при частоте воздействия

Величина сор называется резонансной частотой. Амплитудная характеристика имеет при этом пик. Пик ЛАХ получается после введения поправок к кусочно-линейной характеристике с помощью кривых рис. 4-13.

Подпись:

Подпись:

Консервативное звено. При Т2 = 0 (или А = 0) в колебательном звене рассеяния энергии не будет и под влиянием внешнего толчка в нем возникнут незатухающие колебания. Такое звено называется консервативным. Его уравнение можно привести к виду

где ©о — собственная частота колебаний звена.

Переходная функция консервативногозвена

Амплитудно-фазовая характеристика совпадает с действительной осью

Дифференциальное уравнение D(p)x=A sinco0* не имеет ограниченных решений, если D(p) имеет чисто мнимые корни р =

= ±/соо- Это отражено в том, что амплитудно-фазовая характеристика консервативного звена при со = со0 терпит разрыв непрерывности, а амплитуда неограниченно возрастает.

Переходная характеристика консервативного звена показана на рис. 4-9 в составе семейства характеристик колебательного звена (при А = 0).

Консервативное звено образуется, например, при охвате двух последовательно включенных идеальных интеграторов жесткой? обратной связью (рис. 4-15).