4-4. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗОМКНУТОЙ ЦЕПИ ИЗ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

Пусть дана передаточная функция цепочки последовательно' включенных звеньев в виде

т. е. цепочка состоит из масштабного звена (усилителя) с коэффициентом К, v идеальных интегрирующих (или дифференцирующих при v<CO) звеньев и ряда статических звеньев первого и второго порядков, как инерционных, так и форсирующих.

Условимся выбирать индексы при постоянных времени в порядке убывания последних, т. е. так, чтобы было

При этом у сопрягающих частот индексы будут располагаться в порядке возрастания, т. е.

Отметим на оси абсцисс частоты coi, щ... и проведем через них линии, параллельные оси ординат, т.е. разделим график на вертикальные полосы (рис. 4-16).

Построение ЛАХ. Заметим, что низкочастотные асимптоты всех статических звеньев совпадают с осью абсцисс. Так как частотные амплитудные логарифмические характеристики при частотах, меньших сопрягающей для данного звена, аппроксимируются отрезками низкочастотных асимптот, то статические звенья не будут влиять на частотную характеристику системы при частотах, меньших сопрягающих. Тогда левее самой малой сопрягающей частоты co = coi=l/7'1 частотная характеристика системы будет совпадать с прямой, являющейся частотной ха-

К

рактеристикои для множителя — , т. е.

Эта прямая наклонена к оси абсцисс под углом —v, лог/дек. Нанесем ее штриховой линией и обведем сплошной линией ту ее часть, которая расположена левее coi (рис. 4-16). Для нанесения прямой, кроме наклона, нужно знать одну из ее точек. В качестве такой точки можно нанести, например, точку, соответствующую со=1, в которой ордината асимптоты равна \gK. Естественно, можно по уравнению асимптоты рассчитать и любую другую точку.

В каждой очередной сопрягающей точке сог начинает влиять на ход характеристики звено с постоянной Тг. Влияние это проявляется в том, что в этой точке происходит приращение коэффициента наклона ЛАХ на постоянную величину. Звено первого порядка вызывает изменение наклона на +1 лог/дек, если его оператор в числителе передаточной функции, и на—1 лог/дек, если этот оператор находится в знаменателе. Звено второго порядка соответственно вызывает приращение наклона на +2 лог/дек, если оператор в числителе, и на —2 лог/дек, если оператор в'знаменателе. После построения кусочно-линейной характеристики необходимо проверить, нужна ли коррекция тех частей. ЛАХ, которые лежат в окрестности сопрягающих частот звеньев второго порядка (при малых Аг).

Пример. Построить ЛАХ цепочки с передаточной функцией

Приводим выражение передаточной функции к нормализованной форме, в которой все свободные члены полиномов равны единице:

Далее приводим оператор звена второго порядка к виду  Постоянные в передаточной функции индексируем так:

Находим приращения наклонов участков ЛАХ.

В соответствии с этим до частоты ш = 0,333 проводим прямую с наклоном —1, имеющую ординату в точке со=1, равную lg 40 = 1,60. После частоты Wi = 0,333 наклон уменьшится на 1 и станет равным —1—1=—2 (отрезок coi—сог). Между частотами со2 = 0,5 и со3= 1,67 он увеличится на 1 и сделается равным —2+1=—1. В полосе со3<со<со4 он принимает значение —1 — —2=—3. Правее частоты ю4 = 2 получаем —3 + 1=—2.

Проверяем, нужна ли поправка. Так как Л =0,5, поправка нужна. Перенеся ее из кривых рис. 4-13, получим окончательный вид характеристики (рис. 4-17).

Построение ЛФХ. Для передаточной функции (4-54) фазовая характеристика

Знаки плюс и первые индексы соответствуют множителям в числителе передаточной функции, знаки минус и вторые индексы (в скобках) —множителям в знаменателе.

В литературе предлагается ряд методов упрощения расчетов фазовой характеристики.

Один из них состоит в том, что для малых со (со<0,6сож, где сож — рассматриваемая частота) функция арктангенса заменяется линейным приближением

а при больших со (а > 1,7ю,) выражением

Тогда выражение (4-55) заменяется следующим:

• Дальнейшее упрощение состоит в том, что все члены с частотами, превышающими текущее значение со* в 10 раз и более, отбрасываются, поскольку погрешность от пренебрежения ими будет меньше 0,1. По этой же причине -исключаются и члены с частотами, меньшими 0,1 сох. При этом отбрасывает-•ся и начальная часть формулы

тде mi и rii—число сопрягающих частот, меньших 0,1сож. Взамен этой части ставится слагаемое — д(п/2), где q — относительный наклон отрезка логарифмической амплитудной характеристики, на котором расположена наименьшая из оставшихся сопрягающая частота. При указанных упрощениях фазовая погрешность не превышает обычно 4—6°. Наконец, для грубой прикидки пользуются неравенствами со<;сох вместо со<0,6шж и со>со* вместо со> 1,7сох; тогда члены формулы, содержащие arctg (cox/cot), также заменяются более простыми.

Мы упомянули об этих упрощениях потому, что они встречаются в литературе. Фактически же польза от них невелика. Во-первых, члены, соответст- . вующие звеньям второго порядка, не позволяют делать такие упрощения, поскольку вносимая при этом погрешность — десятки градусов — становится соизмеримой с требуемыми запасами устойчивости по фазе. Во-вторых, упрощается несколько сам счет, но не построение графиков, так как функция сох/со* в логарифмическом масштабе не будет линейной, а упрощение счета не очень •существенно, особенно если в распоряжении вычислителя имеется настольный миникомпьютер: с его помощью вычисление по формуле (4-55) несложно, а результат неизмеримо надежнее и ценнее.

Больше смысла в кусочно-линейной аппроксимации фазовой характеристики. При этом сначала следует построить характеристики отдельных звеньев первого порядка в виде трех прямолинейных отрезков: горизонтальных асимптот при co<0,lcot и co>10coi и соединяющих их концы прямого отрезка между значениями 0,1 со,- и lOcoi, а затем просуммировать полученные характеристики. Но и при этом характеристики звеньев второго порядка придется •строить по точным формулам.

На практике для построения отдельных составляющих ЛФХ часто используются лекала. При выбранных масштабах по осям абсцисс (со) и ординат (0) для построения составляющей вида arctg со/соЛ(г> может быть использовано одно и то же лекало, так как изменение соя») требует только смещения

Лсо/со,(м

-лекала по оси абсцисс. Для составляющей вида arctg       —потребуется

l-(co/co/w)* ;

уже несколько лекал (для различных Л). Однако поскольку Л может лежать только в пределах от 0 до 2, число таких лекал невелико (обычно 5—10 различных лекал).

Следует также отметить, что лекала могут быть также использованы для более точного построения отдельных составляющих ЛАХ, причем при выбранных масштабах для звена первого порядка потребуется всего один тип лекала, а для звеньев колебательного типа — 5—10 различных лекал (в зависимости от требуемой точности построения).