5-1. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Самое первое требование, предъявляемое к системе, состоит в том, чтобы она была способна выполнять свои функции устойчиво. «Термин «устойчивость» настолько выразителен, что он сам за себя говорит», — начинают изложение теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [88]. Но для математического анализа устойчивости требуется ее количественная характеристика.

В обиходе термин «устойчивость» часто применяют к системе. Но это не вполне корректное употребление. Устойчиво то, что может длительно сохраняться. Устойчивы ли шар или куб? Такой вопрос можно задать, если речь идет о материале, из которого они сделаны (твердый шар устойчив, шар из дыма — нет), Но в динамике, в теории управления правильнее говорить об устойчивости не самой системы, а ее состояния — равновесия или движения.

Если куб помещен на горизонтальную плоскость одной из своих граней (рис. 5-1,а), его положение равновесия устойчиво, если же он поставлен на ребро (рис. 5-1,6)—неустойчиво.

Устойчивость может зависеть не только от формы самого тела, но и от опорной поверхности. На рис. 5-2 показан ряд состояний равновесия шара на поверхностях: а — устойчивое, безразличное на горизонтальной плоскости, при котором шар может занимать произвольное положение на плоскости; такое равновесие называют нейтрально устойчивым; б — устойчивое в низшей точке впадины криволинейной поверхности, при котором состояние равновесия единственно; в — неустойчивое на вершине «холма»; положение б устойчиво внутри области MN и неустойчиво на ее границе N.

Для исследования устойчивости равновесия предполагают, что система под действием внешнего толчка отклонилась от положения равновесия, и изучают те силы, которые возникают в результате этого отклонения. Если они в силу свойств системы (или описывающего ее состояние уравнения) стремятся вернуть систему в положение равновесия при любом направлении отклонения, равновесие устойчиво (силы Fi); если они стремятся увеличить отклонение (силы F2), равновесие неустойчиво. При этом

необязательно, чтобы система возвращалась к равновесию точно: если, например, под действием сил трения шар остановится, не доходя до прежнего состояния, равновесие считается устойчивым.

Понятие об устойчивости движения более тонко и сложно, но так как равновесие — частный случай движения, точное определение понятия устойчивости следует привести именно для движения.

Система в рабочем состоянии может совершать некоторое заранее заданное движение. Часы должны перемещать стрелки

 

Подпись:  Подпись:

в соответствии с астрономическим временем. Ракета должна лететь к цели по заданной траектории. Заданное движение называют невозмущенным движением. Если система описывается дифференциальным уравнением, невозмущенному движению соответствует одно из частных решений уравнения. Внешние воздействия смещают движущуюся систему с заданной траектории, и фактическое движение (возмущенное) будет отличаться от невозмущенного.

Обычно рассматривается одна из двух следующих групп возмущений: а) изменение в заданный начальный момент t=tQ внешних сил; б) возмущение начальных условий, когда вместо заданной совокупности начальных условий

рассматривается совокупность

Отклонения (вариации) процесса

где у* (t)—невозмущенное, yi — возмущенное движение, обычно и рассматриваются при исследовании устойчивости вместо неременных yi и у с. Уравнения движения принимают вид:

где fi — непрерывные, имеющие все частные производные по своим аргументам функции в некоторой области xgQ.

Невозмущенному движению соответствует тривиальное решение Xi = 0, Xi — 0, хп = 0, т.е. точка начала координат х=0 /г-мерного пространства X состояний системы, а роль возмущений играют сами начальные условия х,0=Дг/го-

Каждому моменту времени t=th для возмущенного движения, начавшегося из точки {xi0}, в пространстве состояний соответствует точка {xi(tk)}. При возрастании t эта точка (изображающая точка) прочерчивает в пространстве кривую, называемую траекторией свободного движения в пространстве состояний. Уравнения интегральной кривой можно получить в параметрической форме, найдя решения уравнений (5-1)

Но уравнение кривой можно получить и иным путем, исключив из уравнений (5-1) время. Для этого каждое из уравнений (5-1) делится на предыдущее и получается система из я—1 уравнений

Их решение

будет уравнением интегральной кривой в пространстве состояний. Интегральная кривая может совпадать с траекторией или состоять из нескольких (множества) траекторий.

Движение при начальных условиях Xi(0)=xi0; i=l, я изображается траекторией, исходящей из точки {XiQ}, i=l, .., я, т.е. из начальной точки пространства состояний.

Интегральные кривые, а следовательно, и траектории обладают важным свойством. Если функции fi{x) определены в неко- ? торой открытой области Q пространства X, удовлетворяют условиям Коши в этой области-(-т. е. непрерывны и имеют частные производные по своим ар^умент^ам)^ то^Тштегр альные кривые во'всей области Q (за исключением особых точек, в которых одновременно f;+1 = 0, /г=0) имеют единственное значение производных dxi+xjdxi, т. е. не пересекаются друг с другом. Особые точки соответствуют положениям равновесия.

Определение устойчивости по А.  М. Ляпунову [33, 35, 71].

Приведем формулировку определения устойчивости для автономной системы, в уравнениях которой функции fi(x) зависят только от аргументов х\ и не зависят явно от t.    Пусть функции ft удовлетворяют в некоторой области S(H)

неравенству 2 я? <#, т. е. условиям  Коши — Липшица. Будем t

рассматривать только те части траекторий, которые соответствуют значениям t^>0.

Положение равновесия в начале координат называется устойчивым, если для любого наперед заданного е>0 внутри об-

ласти S(H), е=^Я, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число Я(е)^Б, такое, что при любых возмущениях {xio}, i=\,..., п, удовлетворяющих условию

т. е. расположенных внутри сферы 5 (Я) в области 5(e), и при всяком f>0 выполняются неравенства

В пространстве состояний это можно интерпретировать так. Внутри сферы 5 (Я) радиуса Я (рис. 5-3) удовлетворяются условия Коши — Липшица. Задана сфера 5(e) радиуса е, за пределы которой не должно выходить  возмущенное движение. Для

этого начальные точки всех возможных возмущенных траекторий должны лежать внутри сферы 5 (Я) радиуса Я. Равновесие устойчиво, если такая сфера 5 (Я) существует.

Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если, кроме того, существует такое е0>0, что каждая траектория, начавшаяся внутри сферы 5(ео), при неограниченном возрастании t стремится к началу координат

Положение равновесия неустойчиво, если для некоторого, хотя бы одного е<СЯ и любого Я, каким бы малым ни выбиралось Я, можно найти внутри сферы 5 (Я) такую точку х^, что начинающаяся в этой точке траектория за конечное время достигнет сферы 5(e).

На рис. 5-3 изображены траектории устойчивого (кривая 1), асимптотически устойчивого (кривая 2) и неустойчивого (кривая 3) движений.

Знакоопределенные и знакопостоянные функции. В исследованиях устойчивости существенную роль играют функции V(x,t) координат х и времени t, сохраняющие в некоторой области аргументов знак при всех изменениях аргументов в этой области. Поскольку в данном разделе исследуется устойчивость только автономных систем, рассмотрим функции V{x), являющиеся функциями только координат х и не зависящие явно от времени.

Функция V(x) называется знакопостоянной, если при всех значениях х, удовлетворяющих условию

значение А можно выбрать достаточно малым, но отличным от нуля так, что функция V{x) будет удовлетворять условиям:

она зависит от всех переменных Х\, х2,хп;

она принимает, кроме нулевых, значения только одного знака. В зависимости от знака знакопостоянную функцию называют положительной или отрицательной.

Если знакопостоянная функция обращается в нуль только тогда, когда в нуль обращаются все ее аргументы, она называется знакоопределенной (определенно положительной или определенно отрицательной).