5-3. ИЗОБРАЖЕНИЕ СВОБОДНЫХ ДВИЖЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Пространство состояний, построенное для уравнений

называют часто фазовым пространством. Координаты точки в трехмерном фазовом пространстве представляют собой перемещение, скорость и ускорение, т. е. фазы движения. В п-мерном пространстве на высшие производные до п — 1 включительно также распространяют название фаз и само многомерное пространство также называют фазовым.

Совокупность всех фазовых траекторий свободного движения в фазовой плоскости называется фазовым портретом системы.

Рассмотрим фазовые портреты линейных систем, описываемых уравнением второго порядка

Классический пример такой системы — масса на пружинном подвесе, движущаяся в вязкой среде, соо* представляет собой силу пружины, 2hx — силу трения в вязкой среде.

Обозначим Xi=x, х%=х. Тогда уравнение (5-8) запишется в форме (5-7) так:

Уравнение фазовой траектории в дифференциальной форме

Отметим основные свойства фазовых траекторий на плоскости.

Общее свойство траекторий в пространстве состояний — единственность траектории, проходящей через любую неособую точку, справедливо и для фазовых траекторий, если f(x) удовлетворяет условиям Коши — Липшица. Для линейной системы (5-9) оно имеет силу во всей фазовой плоскости, за исключением особой точки в начале координат.

Так как при x2=xi>0 переменная Х\ возрастает при возрастании t, то фазовые траектории направлены в верхней полуплоскости слева направо, в нижней справа налево. Это справедливо и для нелинейных систем.

Система имеет единственное состояние равновесия Х\= =х2 = 0.

При х2=0, т. е. при пересечении с осью х\, угловые коэффициенты (исключая точку X\—Q) бесконечно велики и фазовые траектории пересекают ось абсцисс Х\ под прямым углом снизу вверх в левой полуплоскости и сверху вниз в правой. Это свойство справедливо и для нелинейных систем.

Из теоремы Ляпунова об устойчивости линейного приближения вытекает, что существует функция Ляпунова, найденная так, чтобы удовлетворялись уравнения (5-5), когда равновесие устойчиво, и существование такой функции необходимо и достаточно для устойчивости. Укажем две такие функции для уравнения второго порядка

Их производные по времени

Консервативная система. Уравнение свободных колебаний .линейной системы, в которой нет сил сопротивления движению, вызывающих рассеяние энергии, можно привести к виду

В механической системе наличие члена х, отражающего силу инерции, обусловлено массой. Член х отражает позиционную силу, пропорциональную перемещению. Таковы, например, силы, развиваемые пружинами. Для этого случая уравнения (5-7) имеют вид:

Уравнение фазовой траектории

приводится к уравнению с разделяющимися переменными  и легко интегрируется в квадратурах

где   произвольная   постоянная зависит от начальных условий:

Уравнение (5-14) приводится к каноническому уравнению эллипса

полуоси которого а=С/щ; Ь=С.

Фазовые траектории, представляющие собой семейство вложенных друг в друга эллипсов, показаны на рис. 5-5.

Движение на фазовой плоскости по эллипсу соответствует незатухающему колебательному движению, представляемому решением уравнений (5-13) при начальных условиях Хю, х2о, t0=0:

Начало координат представляет собой особую точку, не принадлежащую ни одной из траекторий, — так называемую точку

типа центра. Точка равновесия типа центра устойчива по Ляпунову. Действительно, если требуется, чтобы движение не вышло из сферы заданного радиуса е, то достаточно и всегда можно выбрать сферу радиуса X внутри эллипса, большая полуось

которого равна е: Аймаке [ —, cWe.

\«>о /

Система с отрицательной позиционной силой. Линеаризованное уравнение системы с отрицательной позиционной (опрокидывающей) силой имеет вид:

Обозначая х=Х\, х=х2, получаем уравнение фазовой траектории

Интегрируя, находим:

Это — уравнение гипербол с асимптотами

(рис. 5-6). Начало координат — особая точка типа седла, соответствующая неустойчивому равновесию.

Точка седла является своеобразным центром притяжения для траекторий, пока они идут во втором и четвертом квадрантах, и становится для них центром отталкивания в первом и третьем квадрантах. Точка седла принадлежит только четырем прямолинейным траекториям — полупрямым

Линейная колебательная система с вязким трением. При наличии силы сопротивления движению, пропорциональной скорости (так называемой силы вязкого трения), уравнение системы будет иметь вид:

Если /i2<Co)o, корни характеристического уравнения комплексны:

Уравнение интегральной кривой:

После подстановки z=x2/x\, dz x1-\-zdxi = dx2 и разделения переменных получим:

Решение уравнения (5-21) имеет вид:

где

Перейдя к полярным координатам  лолучим более компактную форму решения

Это — уравнение логарифмической спирали. Но для расчетов оно мало удобно, и для вычисления X\(t) и x2{t) предпочитают использовать решение уравнения (5-18):

Кривые Xi(t) и x2(t) для начальных условий ХюфО, х2о=0 показаны на рис. 5-7. При t-^oo, как. следует из (5-23), имеем Х\-*-0, х2-э-0, следовательно, «->-0 и v-+0: тогда при t-^oo и р-»-0 спираль-скручивается к началу координат фазовой плоскости. Фазовые траектории показаны на рис. 5-8, а.

Начало координат здесь — устойчивая особая точка типа фокуса. Любая траектория с течением времени подходит к устойчивому фокусу сколь угодно близко, но угол их^ вхождения установить невозможно, так как dx2/dxi в точке xi=x2=Q'> не существует.

При /i<C0 фокус становится неустойчивым и траектории от-него непрерывно удаляются (рис. 5-8, б),

Апериодическое звено второго порядка. При я XT, /i2>cd^, корни вещественны и отрицательны. Уравнение интегральной, кривой такое же, как и (5-21), но его решение иное:

С помощью этих уравнений некоторые задачи решаются проще, чем с помощью параметрических, например, для нахождения экстремальных значений extr Xi{t)=xim в переходном процессе полагаем #2=0 и получаем

Для исследования фазового портрета удобнее воспользоваться решениями уравнения (5-18):

Произвольные постоянные можно выразить через начальные

УСЛОВИЯ #ю, Х2о'-

.или, выразив значения корней через коэффициенты уравнения, получим:

Перед построением фазового портрета полезно отметить некоторые его свойства.

Наклон касательных к траекториям при пересечении с осью х2 характеризуется угловым коэффициентом — 2п. (Это справедливо, очевидно, и для случая комплексных корней.)

Из (5-27) следует, что если начальная точка лежит на прямой Яг#ю— #20=0, то постоянная Ах обращается в нуль и решение уравнений принимает вид:

"т. е. траектория представляет собой прямую линию х2=гК2хх, проходящую через начало координат и имеющую угловой коэф-•фициент А2. Аналогично при %iXi0—#20=0 обращается в нуль -А2 и траектория представляет прямую с угловым коэффициентом Я(. Эти две траектории являются особыми, вырожденными.

Остальные фазовые траектории не прямолинейны. В самом деле, если уравнение фазовой траектории x2=kxx, то

9

и из (5-20)   получаемили &2-f-2/i&-r-co6 =0, т.е.

угловой коэффициент прямолинейной траектории равен корню характеристического уравнения. Такие траектории существуют только при вещественных корнях, и их только две.

Остальные траектории имеют асимптотой ту прямолинейную траекторию, у которой &=min{|A,i|, |Я2|}=Я2. В самом деле, из (5-26) найдем:

Так как для неособых траекторий А\ф0, А2ф0, то можно умножить обе части уравнений на А2 е   2 :

Поделив   второе из уравнений   (5-30) на первое, получим:

При t-^oo фазовая траектория стремится к началу координат, а первые слагаемые в числителе и знаменателе правой части последнего уравнения стремятся к нулю, так как Л,;<С0^ Х2<0 и А,1 — А,2<0. Отсюда

т. е. прямая х2='к2Х\ является асимптотой для всех неособых траекторий.

На рис. 5-9 построены траектории для уравнения

Точка равновесия относится к типу узла. Устойчивый узел характерен тем, что все траектории в него входят под углом arctg %z, кроме одной особой, входящей в него под углом arctg "кь

При /КО узел становится неустойчивым.

При сод <0 уравнение имеет вид x^Zhx—wj х. Корни вещественны и различны по знаку. При /i>0 наибольший по модулю наклон имеет особая траектория во втором и четвертом квадрантах, при /i<0 — в первом и третьем; характер же кривых такой же, как и в случае /г=0 (рис. 5-10).

Нейтрально-устойчивая система второго порядка (со^=0). Уравнения системы:

Уравнения интегральной кривой:

Интегральные кривые изображаются параллельными прямыми с угловым коэффициентом —2h (рис. 5-11). Фазовые траектории — полупрямые в одной полуплоскости (или верхней, или нижней). Вся ось Xi является геометрическим местом точек равновесия — линией покоя. Окончательное равновесие может быть любым и зависит от начальных  условий. Функция V* = х\=С

представляется парой параллельных прямых #2=± VС. Равновесие устойчиво по Ляпунову. Область Q(A,)   начальных точек,, при которых движение не выйдет из окружности 5(e), заштрихована.

Метод изоклин. Если при построении фазового портрета не требуется большой точности, можно воспользоваться методом изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в-которых наклон касательных ко всем фазовым траекториям одинаков. В рассматриваемом случае изоклины прямолинейны. В самом деле, уравнение

где k0 — заданный угловой коэффициент касательной, есть уравнение прямой, проходящей через начало координат. Угловой коэффициент изоклины

Предварительное нанесение на рисунок изоклин с черточками, обозначающими наклон касательных, дает некоторое подо-•бие картины магнитного поля, образованной железными опилками, и облегчает построение фазовых траекторий.

Отметим некоторые характерные изоклины. Ось абсцисс есть изоклина с &0=±со. Ось ординат имеет kQ=—2h. Биссектрисы координатных углов (#2=±#i) имеют &0=—2/г+со2. Уравнение изоклины, соединяющей точки экстремумов фазовых траекторий (&0=0),

При достаточно густой сетке изоклин с отрезками касательных проведение с помощью лекала фазовой траектории не представляет труда. Пример построения фазовой траектории с помощью изоклин показан на рис. 5-12.