5-4. КРИТЕРИИ РАУСА И ГУРВИЦА

Критерии Рауса и Гурвица представляют собой математическое выражение необходимых и достаточных условий отрицательности всех вещественных частей корней уравнения n-й степени с постоянными вещественными коэффициентами

Так как эти же условия необходимы и достаточны для устойчивости линейной стационарной системы с сосредоточенными параметрами и характеристическим уравнением (5-31), то условия Рауса и Гурвица называют также условиями устойчивости линейных систем данного класса.

Эти условия выражаются с помощью алгебраических неравенств, связывающих значения коэффициентов уравнения (5-31), и поэтому относятся к группе алгебраических критериев. Они позволяют определять расположение корней полинома D(s) в плоскости комплексной переменной s=a-f-/P относительно мнимой оси, не прибегая к нахождению самих корней, что весьма существенно для приложений, так как корни уравнений выше четвертой степени не выражаются через коэффициенты посредством алгебраических соотношений и могут быть найдены лишь численно (практически даже корни уравнений третьей и четвертой степеней предпочитают определять не по формулам Карда-но, Декарта — Эйлера или Феррари, а более простыми численными методами). При этом в процессе численных расчетов с итерациями обычно полностью утрачивается представление о влиянии исходных параметров на значение и  характер корней.

В дальнейшем для краткости корни с отрицательными вещественными частями будем называть левыми корнями, с положительными частями — правыми корнями.

При формулировке и использовании критериев устойчивости будем считать коэффициент в старшем члене полинома D(s) положительным: а0>0. Это не снижает общности, так как уравнение с ао<СО приводится к уравнению с ао>0 путем умножения его левой части на —1.

Критерий Рауса. Для того, чтобы все корни полинома (5-31) были левыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

где

Для удобства запоминания своего алгоритма Раус предложил следующее правило. Составим таблицу (табл. 5-1). В верхней строке таблицы запишем последовательно коэффициенты а0, л2, а4... с четными индексами, под ними во второй строке — коэффициенты с нечетными индексами аи а3, а5... Эти две строки отделены от остальных вычисляемых строк линией. Столбцы таблицы нумеруются, начиная со столбца, содержащего ао, ai и т. д.

Каждый из вычисляемых коэффициентов Cjk в i'-й строке и k-м столбце равен определителю второго порядка, первый столбец которого составлен из элементов, записанных в.следующем столбце таблицы [(&+1)-м] на двух расположенных выше строках [(£ — 2)-й и (i—1)-й]. Первый элемент второго столбца определителя образован из частного /\- от деления двух элементов первого столбца, расположенных на двух вышележащих строках. Второй элемент второго столбца равен единице. Значения гс, поскольку на них умножается ряд коэффициентов, выписаны в дополнительном столбце таблицы слева.

Условие устойчивости: все элементы первого основного столбца таблицы Рауса (включая а0 и а{) должны быть одного знака (положительными, если ао>0).

В табл. 5-2 показан численный расчет элементов таблицы Рауса для уравнения

Все элементы первого столбца положительны, и все корни уравнения поэтому левые.

Д. К. Максвелл, исследовав устойчивость системы регулирования, столкнулся с необходимостью иметь общие условия устойчивости линейных систем произвольного порядка. Решив эту задачу для уравнения 4-й степени, он в 1868 г. на заседании лондонского математического общества поставил общую проблему. Откликнувшись на это предложение, Е. Дж. Раус в 1877 г. опубликовал условия (5-32) [94].

Работа Рауса, однако, осталась незамеченной многими его современниками, и 20 лет спустя история повторилась. В начале 1890-х годов А. Стодола, •занимавшийся исследованием регулирования гидравлических турбин, предложил своему коллеге профессору Гурвицу заняться нахождением критерия устойчивости систем произвольного порядка. Гурвиц опубликовал свой критерий в 1895 г. [84].

Неизвестно, знал ли Гурвиц о работе Рауса. Возможно, что не знал, хотя трудно представить, чтобы математик мог не заметить подобной публикации. Возможно, однако, что, зная о работе, Гурвиц считал, что принципиальное решение этой проблемы уже в те времена было дано и связывалось с более знаменитыми именами. Ои писал: «Хотя решение этого вопроса методами Штурма, Лиувилля, Коши и Эрмита не представляет особых трудностей, я хочу сообщить о своих результатах, которые, возможно, представят некоторый интерес для приложений благодаря своей простой форме».

Метод Рауса казался, видимо, более трудным для запоминания и более • сложным. По-настоящему он был оценен лишь во второй половине нашего века. Современникам Рауса и Гурвица более импонировала замкнутая, детер-

Подпись:

Подпись:

минантная форма Гурвица, а в век вычислительной техники более импонирует у  алгоритмическая форма Рауса, тем более, что при использовании алгоритма Рауса для уравнений высоких порядков больше экономится время.

Теорема Гурвица. Для того, чтобы все корни уравнения(5-31) с постоянными вещественными коэффициентами былилевыми, необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 определите-ли Гурвица         v ',

были положительными.

Определитель Д,- составляется так, что его первый элемент всегда а\, индексы в каждой строке последовательно возрастают на 2, а в каждом столбце убывают на 1, и принимается равным нулю, если k<.0 или k>n.

Некоторые общие замечания. Вычисление определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений и неоправданной затратой времени, поэтому весьма полезны правила, упрощающие расчеты.

Необходимое условие устойчивости Стодолы. Для расположения всех корней слева от мнимой оси необходимо (но недостаточно), чтобы все коэффициенты аг- были положительны. В самом деле, множители в разложении полинома f(s) (5-31), соответствующие вещественным левым корням, имеют вид s+a, соответствующие паре комплексных левых корней — (s-f а)2+р2, т. е. имеют положительные коэффициенты. Но произведение элементарных множителей с положительными коэффициентами дает полином также с положительными коэффициентами. Условие является необходимым и достаточным для полиномов первой и второй степени.

Если все коэффициенты положительны, то, так как Дп = = апДп-ь положительности Дп-i достаточно, чтобы был положителен и Дп.

Если все коэффициенты положительны, то для устойчивости достаточно положительности или всех Д; с четными, или всех с нечетными индексами (критерии Льенара — Шипара). Это позволяет при положительности коэффициентов ограничиваться исследованием только знаков определителей Дп-ь Дп-з-.

Так, для уравнений 3, 4 и* 5-й степеней, кроме положительности коэффициентов, необходимо выполнение условий:

4.         Критерий Гурвица удобно применять для уравнений невыше четвертой степени. Для более высоких степеней целесо-образнее использовать алгоритм Рауса, применяя машинныйсчет. Для дальнейшего полезны также некоторые правила отде-ления корней.

5.         Если все коэффициенты уравнения положительны, то всевещественные корни (если они есть) отрицательны. (Комплекс-ные корни при этом могут быть и правыми.) Это вытекает изтого, что ни одно вещественное положительное число не можетобратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами.

6.         Правило знаков Декарта. Если в последовательности

имеется одна перемена знака,-то имеется один положительный вещественный корень. Применяя правило к D(—s), получаем аналогичное утверждение для отрицательных корней.

Если число перемен знака больше единицы и равно N, то число положительных вещественных корней равно N либо меньше N на четное число. (Промежуточные коэффициенты, равные нулю, при подсчете числа перемен знака не учитываются).

Число правых корней равно числу перемен знака в любой из последовательностей

или

где А0=а0; Ai = ar, At — определители Гурвица.

При обращении в нуль какого-либо из Аг- подсчет усложняется.

Число перемен знака в последовательности из элементов первого столбца таблицы Рауса

равно числу правых корней.

Обращение в нуль определителя An-i свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней.

10. Использование метода обобщенных параметров (см. §2-5)' позволяет (при положительных коэффициентах исходного характеристического уравнения) значительно упростить форму условий Гурвица (особенно для систем невысокого порядка), Так, например, для я=3 (а,->0, /=0, 1, 2, 3) условие устойчивости записывается в виде

0 <da < 1.

При п=4 (аг>0, i=0, 1, 2, 3, 4) условие устойчивости 0<d3 + d4< 1.

При п<.5 условия устойчивости несколько усложняются, но^ все же имеют значительно более простой вид (по сравнению с обычными условиями Гурвица). Так, для п = 5 эти условия имеют вид:

Использование обобщенных параметров d3) dn позволяет дать наглядную геометрическую интерпретацию условий устойчивости (т. е. произвести построение области устойчивости) при любой степени характеристического уравнения п (см. § 6-1).