5-6. КРИТЕРИЙ А. В. МИХАЙЛОВА

Пусть характеристическое уравнение исследуемой замкнутой системы имеет вид:

Кривой Михайлова называют график функции

Вещественная и мнимая части

называются соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова.

Исследуем характер кривой £>(/со) в комплексной плоскости •0 = Ф+Л|>- Разложим Ь(/со) на множители ао(/со—Si) (/со—s2)..., где s\, s2... — корни характеристического уравнения. Нанесем в комплексной плоскости 5 точку Ah, соответствующую корню Sh, и рассмотрим, как будет вести себя вектор /со—Sk при увеличении частоты со от —оо до -{-оо. Из рис. 5-16 видно, что 0Ah=Sk, 0B=j(o, А^В — ОВ—(L4fc=/co—При изменении частоты от —оо до -j-oo начало вектора остается в точке Л&, а конец перемещает-ся снизу вверх по всей мнимой оси, в результате чего вектор AhB поворачивается на угол я против часовой стрелки, если корень Sk расположен слева от мнимой оси, и по часовой стрелке, если корень правый.

Отобразим мнимую ось в плоскость D. Приращение аргумента вектора £(/со) при увеличении со от —оо до -}-оо будет равно сумме приращений аргументов сомножителей, т. е. сумме углов поворота векторов (/со—Sk).

Пусть полином D(s) имеет k правых и п—k левых корней и не имеет корней на мнимой оси. Из сказанного следует, что при этом приращение аргумента вектора D(j(o) будет:

Так как кривая D(j(o) симметрична относительно действительной оси, достаточно построить одну ее половину, соответст-

вующую положительным со. Очевидно, что при изменении частоты от 0 до оо приращение аргумента теперь будет вдвое меньше:

В самом деле, каждый из векторов /со—Sk, соответствующих вещественным корням, повернется теперь на угол я/2 или —я/2, а векторы /со—(а+/Р), /to—(а—/р), соответствующие паре сопряженных комплексных корней, — один на угол я/2—у, другой— на угол я/2+Y» общее же приращение аргумента их произведения будет я.

Из (5-50) следует, что число правых корней полинома D(s)

k обращается в нуль, если

Условие (5-51) отсутствия правых корней вне мнимой оси необходимо, но недостаточно для устойчивости. Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все п корней были левыми, т. е. чтобы среди них не было не только правых корней, но и лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль функцию £>(/со), т.е.

Формулы (5-51) и (5-52) совместно представляют собой математическое выражение критерия Михайлова. Сформулировать его можно так: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова при изменении со от 0 до

оо\повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол ял/2.

Часто формулировку дают в следующей форме: для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы вектор D(j(o) кривой Михайлова, начав движение с вещественной положительной полуоси и повернувшись против часовой стрелки, прошел последовательно (т.е. в порядке I->II->III-^IV->I->...) п квадрантов плоскости D. При этом вещественная и мнимая координатные оси должны пересекаться поочередно.

На рис. 5-17 показаны кривые Михайлова для устойчивых систем от 1-го до 5-го порядка. Для большей наглядности все кривые исходят из одной точки, т.е. ап у всех характеристических уравнений приняты одинаковыми.

На рис. 5-18 приведены примеры годографов неустойчивых систем. График рис. 5-18, а удовлетворяет условиям Михайлова, если уравнение имеет третий порядок. Тогда система устойчива. Если же, например, порядок уравнения седьмой, а вид графика тот же, то система неустойчива, поскольку кривая проходит не через семь, а через три квадранта. На рис. 5-18,6 нарушено направление вращения вектора, на рис. 5-18, в нарушено чередование квадрантов, на рис. 5-18, г неправильны и чередование, и число квадрантов.

На рис. 5-18,5 и е кривая проходит через начало координат. В этом случае если путем малой деформации годографа (преры

вистая линия на рис. 5-18, д) годограф можно сделать удовлетворяющим условиям Михайлова, то имеется пара чисто мнимых корней, а остальные корни левые и система находится на границе устойчивости. Если же малая деформация не позволяет привести годограф к нужному для устойчивости виду (рис. 5-18, е), то, кроме чисто мнимых корней, есть еще правые, система неустойчива и не находится на границе устойчивости.

При последовательном прохождении кривой Михайлова через квадранты координатной плоскости вещественная и мнимая оси пересекаются ею поочередно, т.е. корни уравнений ф(со)=0 и я[)(со)=0 перемежаются. Условие перемежаемости является необходимым условием устойчивости'. Для получения необходимого и достаточного условия его надо дополнить условием правильного направления вращения вектора D(ja)).

Если все коэффициенты полинома D(s) положительны, то перемежаемость корней будет необходимым и достаточным условием устойчивости. Для уравнений порядка не выше шестого это обстоятельство позволяет использовать для оценки устойчивости условие перемежаемости, не вычерчивая кривой.

Пример. Дано уравнение

Подставляя s=/ca, отделяем вещественную и мнимую части и приравниваем их порознь нулю:

Не представляет труда найти корни   (со):

Если перемежаются корни, то перемежаются и их квадраты, поэтому нахождение о)2 и он не обязательно. Кроме того, корни ф(оэ) также можно не искать, так как при соблюдении условий чередования знаки ординат функции ф(о>), соответствующие корням 0)2,4, должны чередоваться (рис. 5-19). Имеем:

Так как все корни г|) вещественны, знаки ординат ф, соответствующие этим корням, чередуются, а коэффициенты полинома D(s) положительны, то система устойчива.