6-5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Прямое регулирование машины без самовыравнивания (задача Вышнеградского). Передаточная функция машины

передаточная функция регулятора

Здесь Та — «время разгона» машины; Т\ — инерционная постоянная регулятора; Тк—постоянная-времени демпфирующего устройства; б — коэффициент неравномерности или статизм регулятора. Все постоянные времени, а также величина б — положительны. Передаточная функция замкнутой системы

Отсюда видно, что:

1) система регулирования — статическая, причем статизм регулирования в замкнутой системе, получаемый в результате подстановки s = 0, равен статизму регулятора б;

2) настраиваемые параметры регулятора Tk и б, обеспечивающие устойчивость, можно определить из условий Гурвица; положительность всех коэффициентов в знаменателе передаточной функции и положительность определителя Гурвица A2 = aia2—

или

причем первое из этих неравенств выполнено по условию.

Из этих неравенств вытекают два известных тезиса Вышнеградского: а) без неравномерности нет регулятора; б) без катаракта (демпфера) нет регулятора. Разумеется, тезисы справедливы для рассмотренного случая машины без самовыравнивания, регулируемой инерционным регулятором   колебательного типа.

Прямое регулирование машины с самовыравниванием. Передаточная функция машины

где kc — коэффициент самовыравнивания машины. Передаточная функция регулятора та же, что и ранее. Передаточная функция замкнутой системы

При s = 0 получаем статизм регулирования

Условия устойчивости по Гурвицу или

Уравнение границы устойчивости найдем, заменив знак нера-енства равенством. Тогда после некоторых преобразований по-учим:  г г

Введя для случая без самовыравнивания параметры Вышне. градского (см. § 2-5), А\=А, А2 = В:

и обозначив  получим

Кривые, ограничивающие область устойчивости в плоскости параметров А и В, показаны на рис. 6-12 для значений 6=0 (гипербола Вышнеградского), 6=0,2 и 6=0,4. Из рисунка следует, что наличие самовыравнивания расширяет область устойчивости и позволяет не только довести б до' нуля, но даже сделать его отрицательным, т. е. получить положительный статизм.

Изодромное регулирование. На рис. 6-13 показана схема так называемого изодромного (с греческого — равнобежного) регулирования скорости паровой машины. Ее называют также системой «с исчезающей неравномерностью» («исчезающим статизмом»). Схема обеспечивает поддержание скорости без статической ошибки, но с помощью статического регулятора.

Вместо жесткой тяги обратной связи между поршнем гидравлического сервомотора — астатического звена первого порядка — й рычагом, воздействующим на золотник, включен «изодром» — масляный катаракт 2. Конец рычага опирается на пружину /. В состоянии равновесия пружина недеформирована и точка а рычага занимает в пространстве фиксированное положение. Точка с, связанная с телом золотника, при равновесии также занимает определенное положение, при котором золотник перекрывает обе трубы серв°' мотора. Таким образом, равновесное положение муфты регулятора (точка Ь), а следовательно, и скорость вращения вала Мишины фиксированы.

Пренебрежем инерцией изодромного поршня, рычага и прУ жины. На конец рычага действуют сила пружины Fnp=cAz lf

сила сопротивления катаракта

где D — коэффициент демпфирования, пропорциональный вязкости масла и зависящий от открытия перепускного отверстия между частями стакана изодрома, разделенными поршнем. Уравнение равновесия сил Fnp = FK после подстановки их значений принимает вид:

Это последнее уравнение легко приводится к безразмерной форме

где (х=Д^/г/б, £=Лг/2б — относительные перемещения поршней сервомотора и изодрома соответственно, а уъ=гъ.

Запишем уравнения машины без самовыравнивания, безынерционного регулятора скорости и сервомотора:

^Де ф — отклонение скорости; (х — относительное перемещение еРвомотора; г\— перемещение регулятора; а — перемещение °Лотника; v — относительное изменение нагрузки.

Рассмотрим сначала случай, когда сервомотор не охватывается обратной связью. Тогда а=г) и, исключив промежуточные переменные, получим уравнение системы в виде

Система консервативная, находящаяся на границе устойчивости. Этим иллюстрируется необходимость охвата астатического сервомотора обратной связью, если машина не имеет самовыравнивания. Добавим теперь к уравнениям (6-13) уравнения золотника и изодрома но для более общей схемы (рис. 6-13,6 или б), где конец пружины не закреплен жестко, а перемещается пропорционально перемещению регулятора:

В этих уравнениях |3 представляет собой коэффициент «остаточной йеравномерности». Когда верхний конец пружины закреплен жестко, р = 0 и изодром эквивалентен инерционной гибкой обратной связи. Исключая промежуточные переменные из уравнений системы, в данном случае получаем:

Найдем условия устойчивости по Гурвицу. Учитывая; что То, Тс, Тц — существенно положительны, получаем:

или

Система получилась устойчивой (если (3>0) при всех значениях ее параметров, т. е. абсолютно структурно-устойчивой. Статизм регулирования равен 5(3, т. е. он зависит равным образом и от статизма регулятора, и от остаточной неравномерности.

Если остаточной неравномерности нет, то р = 0 и соответственно уравнение и условие устойчивости будут:

т. е. и в этом случае сохраняется абсолютная структурная ус" тойчивость. Это замечательное свойство изодромного регулирования привело к его широкому распространению. Однако следует отметить, что абсолютная структурная устойчивость имее? место лишь в идеализированной системе с безынерционными Ре'

гулятором и передающими механизмами: золотником, рычагами, поршнями. Наличие неучтенных инерционностей на самом деле делает область устойчивости ограниченной, но все же схемы с гибкими обратными связями обеспечивают устойчивую работу при меньших статических ошибках, чем системы с жесткими свя зями.

Другим примером гибкой обратной связи может служить схема, показанная на рис. 6-14, где обратная связь выполнена в виде цепочки RC. Такое звено рассматривалось в § 4-2 [формула (4-2Q)].