6-6. СИСТЕМЫ,   ДОПУСКАЮЩИЕ   ВЕСЬМА   БОЛЬШИЕ УСИЛЕНИЯ

При определенных условиях подключение гибких обратных связей деформирует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы так, что она приобретает «клювообразную» форму (рис. 6-15). При малых коэффициентах усиления К «клюв» не доходит до критической точки (—I, /0) и замкнутая система устойчива (рис. 6-15,а). Затем при увеличении К критическая точка попадает внутрь клюва, и устойчивость теряется (рис. 6-15, б). При дальнейшем увеличении К клюв отодви гается влево, и система снова становится устойчивой, причем теоретически устойчивость сохраняется при беспредельном увеличении К. (рис. 6-15,в). Если бы в системе не присутствовали Малые неучитываемые параметры, под влиянием которых характеристика делает ряд малых витков, вокруг начала коорди-Нат (рис. 6-15, г), беспредельное увеличение К не нарушало бы Устойчивости, но при росте К увеличиваются радиусы-векторы етков и критическая точка в конечном итоге попадает внутрь к°нтура W (/со).

Рассмотрим одноконтурную систему (рис. 6-16) из N — m + n атических звеньев первого порядка, причем встречно-парал-

лельно п звеньям подключено стабилизирующее звено с передаточной функцией

Характеристическое уравнение замкнутой системы при этом будет

где К — коэффициент, передачи части звеньев, охваченных гибкой обратной'связью:

JCjv — общий коэффициент передачи разомкнутой системы:

Разделим уравнение (6-17) на К и обозначим  тогда

«ли

где D0 и D{ — полиномы.

При беспредельном увеличении К значение |л стремится к нулю. Получается задача о влиянии на устойчивость линейно входящего в уравнение малого параметра. Замкнутая систем3 будет устойчива при достаточно малом \i (достаточно большое К), если выполнены следующие три условия:

Вырожденное уравнение

удовлетворяет условиям устойчивости.

Разность степеней полиномов Di и Do не больше 2, т. е.

М — m = n<2.

Выполняется одно из следующих неравенств:

а)         если число, звеньев, охваченных гибкой обратной связьюп=1, то

где Яо и Ь0 — коэффициенты при старших членах полиномов Do и D\ соответственно;

б)        если п— 2, то

где di и bi — коэффициенты при вторых по старшинству членах полиномов Do и Di соответственно.

Доказательство. Приведем уравнение  где fx — малый параметр, к виду

Пусть

Выделим целочисленную часть дроби

ц   При беспредельном уменьшении ц т корней уходят в бесконечность, s-voo. ста  0чень больших значениях s можно пренебречь всеми членами, кроме Ршего, и считать, что s определяется из уравнения

т. е.'

Отметим три характерных случая.

Порядок числителя функции Di(s)/D0s на единицу выше порядка знаменателя и т=1. При достаточно малых fx

т. е. при ао/Ьо>0, ц>0 корень уходит в бесконечность по отрицательной вещественной оси. Следовательно, при весьма малых fx система устойчива, если ее корни, определяемые вырожденным уравнением Ј>o(s)=0, левые и, кроме того, если а0/Ьо > 0.

Порядок числителя на два выше, чем порядок знаменателя; при этом т=2 и Di(s)/D0(s) имеет два чисто мнимых корня. Вопрос об устойчивости не ясен; чтобы его решить, нельзя при переходе к очень большим s отбрасывать член с s"1-1, как это было сделано выше. Положим s^=a+/P, Sjv_i= = а—/8. Тогда

Последнее равенство написано в соответствии с теоремой Вьета — сумма корней равна взятому с обратным знаком коэффициенту при члене уравнения, следующему за старшим:

Таким образом, система устойчива, если устойчиво решение, соответствующее вырожденному уравнению н, кроме того, соблюдается равенство

3.         Разность порядков числителя и знаменателя т>2. Имеем т корней,образующих в плоскости s симметричную m-конечную звезду:

Часть корней неизбежно уходит в бесконечность в правой полуплоскости и система при достаточно малых ц теряет устойчивость, даже если вырожде"' ное уравнение имеет левые корни. В этом случае отбрасывать малые пара-метры при исследовании устойчивости нельзя.

Более детально влияние малых параметров, а также условия устойчивости при больших К для различных схем рассмотрены в [37—39],