7-2. КОРНЕВОЙ ГОДОГРАФ

Полиномы My(s), D(s), входящие в изображение переходных процессов (7-3) и (7-5), можно представить как произведение сомножителей вида Si—Sj, где Si, Sj — корни полиномов числителя и знаменателя изображения Y(s). Отсюда следует, что переходный процесс и его качественные показатели определяются полюсами и нулями передаточной функции и изображения (спектра) воздействия.

Рассмотрим сначала собственную составляющую переходного процесса (7-5) для y{t)=x(t), определяемую полюсами и нулями передаточной функции.

Из-за невозможности в общем случае выразить корни полинома через его коэффициенты был сделан ряд попыток приближенного определения распределения корней в плоскости s, причем такого, при котором прослеживалась бы зависимость этого Распределения от тех или иных параметров системы. Среди разработанных методов наибольшую популярность в последние десятилетия получил графоаналитический метод корневого годо-гРафа, позволяющий исследовать влияние на распределение КоРней одного параметра, входящего в характеристическое Уравнение линейно. Метод был введен в 1948 г. К. Ф. Теодорчи-к°м и позднее детально развит К. Ф. Теодорчиком и Г. А. Бен-

дриковым (СССР) и в 1950 г. У. Ивенсом (W. Е. Evans, США) [5, 59, 78, 79].

Корневой годограф. Будем рассматривать характеристические уравнения, которые приводятся к виду

где К — параметр, линейно входящий в уравнение;

Разложим Q(s) и R(s) на множители:

где через Si обозначены корни полинома Q(s), а через sn+i — корни R{s).

Разделим на а0 и обозначим:  Получим:

Уравнению (7-7) можно, в частности, поставить в соответствие эквивалентную структурную схему, в которой имеется линейная часть с передаточной функцией

охваченная единичной отрицательной обратной связью. Для такой эквивалентной схемы корни  Si будут  полюсами,  а корни sn+i — нулями передаточной функции разомкнутой системы. Приведем уравнение (7-8) к виду

Будем изменять параметр Л от 0 до оо, считая коэффициенты полиномов R{s) и Q{s) неизменными. При А = 0 корни характеристического полинома замкнутой системы D(s) совпадают с корнями Q(s) характеристического полинома разомкнутой системы. При непрерывном возрастании А корни     будут переме-

щаться в плоскости s, прочерчивая в ней кривые, совокупность которых называется корневым годографом. Ограничимся рассмотрением годографа при положительных А. При стремлении А к бесконечности т ветвей годографа приближаются к т корням полинома R(s), т. е. к нулям передаточной функции разомкнутой системы, а остальные п—т ветвей удаляются в бесконечность. Поведение в бесконечности можно исследовать с помощью тех или иных приближений.

Как следует из (7-9), при A-voo выражение в квадратных скобках также должно беспредельно возрастать, т. е. s также-стремится к бесконечности. Если в нулевом приближении считать, что при достаточно больших s можно сохранить в (7-9) только старший член в квадратных скобках и исследовать уравнение

то

т. е. в бесконечности ветви годографа приближаются к асимптотам, образующим (п—т) -лучевую симметричную звезду. Однако из уравнения нулевого приближения можно найти только-предельные фазы корней, для нахождения же центра пересечения асимптот нужно более точное приближение. Приведем уравнение (7-9) к виду

Если s велико, то в левой части уравнения, представляющей собой бесконечный ряд, можно пренебречь членами, содержащими отрицательные степени s, и считать, что левая часть ведет себя как полином степени п — т, имеющий п—т корней. Сумма этих корней по формуле Виета равна коэффициенту при члене, следующему за старшим, т. е.

Сумма вещественна, и центр звезды лежит на вещественной оси. Пусть искомое расстояние центра звезды от начала координат равно Oi0=s0 (рис. 7-3). Каждый из корней выражается вектором 0 Ai, равным геометрической сумме:

где 0\Ai — один из лучей рассматриваемой звезды.

Сумма всех корней

так как сумма всех лучей симметричной звезды равна нулю:

Сопоставляя (7-10а) и (7-106), получаем:

Приближенное построение корневого годографа, не требующее вычисления значений корней при разных А, можно выполнить, если использовать ряд свойств годографа. Первые три свойства вытекают из сказанного выше.

Годограф для положительных А имеет п ветвей, исходящих при Л = 0 из полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы. Определение этих полюсов значительно проще, чем корней полинома D(s), если разомкнутая система состоит из последовательно включенных типовых звеньев.

При A-voo т ветвей годографа стремятся к корням sn+i полинома R{s), а остальные п—т ветвей уходят в бесконечность.

Асимптоты бесконечных ветвей годографа пересекаются в точке Oi вещественной оси, расстояние которой от начала координат определяется из (7-10), и наклонены к ней под углами

При этом если п — т—% то оба луча образованной асимптотами звезды лежат на прямой, параллельной мнимой оси; если п — т нечетно, то один из лучей лежит на отрицательной вещественной полуоси.

Ветви годографа симметричны относительно вещественной оси.

Разность между суммой фазовых углов всех векторов, проведенных в любую точку годографа из полюсов st, и суммой фаз всех векторов, проведенных в эту же точку из нулей sn+u грата 180° (2k+l).

В самом деле, из (7-9) вытекает:

Обозначая через 9i, 9п-и соответствующие фазовые углы, получаем:

Это основное фазовое уравнение служит для нахождения промежуточных точек годографа. Обычно годограф по основным свойствам наносится сначала от руки грубо, затем его точки с помощью уравнения (7-11) уточняются: измеряются углы и проверяется соотношение (7-11). Если оно не выполнено, точка не принадлежит годографу. Несколько сместив ее, проверяют соотношение снова и так до тех пор, пока не получится допустимо малое расхождение. Ивенсом для ускорения такого построения была разработана специальная линейка — спируль. Описание спируля можно найти в [79, 15, ч. 1].

Из основного фазового уравнения вытекает ряд других свойств.

6. Углы выхода годографа из полюса и вхождения его в нуль определяются равенством (в случае k = 0)

где 29 — алгебраическая сумма фазовых углов всех векторов, кроме выходящего из рассматриваемого нуля.

В самом деле, рассмотрим точку на продолжении годографа, сколь угодно близкую, скажем, к нулю. Фазовые углы всех векторов, проведенных в этот нуль из остальных полюсов и нулей, легко измерить. Угол же вектора, проведенного из нуля в рассматриваемую точку, равен углу б* вхождения годографа в нуль. Тогда из (7-11) следует 29— 9*= 180°, а отсюда в свою очередь вытекает (7-12). Аналогично доказывается и формула для полюса.

Сказанное поясняется рис. 7-4. Искомый угол выхода годографа из полюса Si2 обозначен через 9Х. Фазовые углы векторов, исходящих из полюсов Sn и s!3, равны соответственно 0i и

Фг: угол вектора, исходящего из нуля s2i, равен 63. Имеем:  откуда

На рисунке 01=120°, е2 = 90°, е3 = 140°. При k = 0 имеем: Вх = 180° — 120° — 90° + 140° = 110°; при произвольном k \

Вх= 110° + 360° £. !

7. Точки «отрыва» годографа от вещественной оси определяются из условий: а) разность между числом полюсов и нулей справа от точки отрыва должна быть нечетным числом; б) сумма приращений фазовых углов векторов, проведенных в точку отрыва из всех нулей и полюсов, должна равняться нулю.

На некоторых участках ветви корневого годографа совпадают с вещественной осью, причем все точки вещественной оси принадлежат либо положительному (Л>>0), либо отрицательному (Л-<0) годографам. Возьмем некоторую точку sx на вещественной оси и определим, какому годографу она принадлежит. Проведем через эту точку линию, параллельную мнимой оси (рис. 7-5). Пусть справа от нее расположено а нулей и в полюсов. Вектор, проведенный в точку sx из каждого вещественного нуля или полюса, лежащего слева от sx, имеет фазу 0°; сумма фазовых углов векторов каждой пары комплексных нулей или полюсов слева от sx также равна нулю, поэтому все лежащие слева от данной линии sx нули и полюсы можно во внимание не принимать.

Фаза же векторов, проведенных из вещественного нуля или полюса, лежащих справа от sx, равна 180°, а сумма фазовых углов каждой пары расположенных справа комплексных нулей или полюсов равна 360°. Разность фазовых углов векторов, проведенных из нулей и полюсов справа, равна (Ъ—а) -180°. При нечетных b—а основное фазовое уравнение удовлетворяется и точка принадлежит годографу.

Это правило позволяет установить интервал между вертикалями (линиями, параллельными мнимой оси), проведенными через нули и полюсы разомкнутой системы, на котором происходит отрыв положительной ветви годографа от вещественной оси.

Найдем точку отрыва в этом интервале. Заметим, что в силу -симметрии и непрерывности годограф может пересекать вещественную ось только под прямым углом. Нанесем предполагаемую точку отрыва, проведем через нее вертикаль и рассмотрим точку s0 на вертикали, удаленную от оси на малую величину Дсо (рис. 7-5), позволяющую заменить приращения фазовых углов их тангенсами. Чтобы после отрыва точка осталась на годогра-

<he, сумма приращений углов должна быть равной нулю. Если координата точки отрыва х, то должно быть

где am — вещественные части полюсов; ан/ — вещественные части нулей передаточной функции разомкнутой системы. Сокращая на Дш, получаем уравнение с одним неизвестным, из которого находится х:;

Для случая, изображенного на рис. 7-5,

8.         Пересечение годографа с мнимой осью можно найти с по-мощью одного из критериев устойчивости.

Поскольку при переходе через мнимую ось слева направо устойчивость теряется, представляет интерес найти значение А, при котором это происходит. Нахождение пересечения годографа с мнимой осью удобно выполнять с помощью /J-разбиения в плоскости А.

Когда годограф вычерчен, полезно нанести на него отметки— точки, соответствующие различным численным значениям А или К. Для вычисления К можно воспользоваться следующим правилом.

9.         Значение К, соответствующее данной точке годографа,равно произведению модулей векторов, проведенных в эту точкуиз полюсов передаточной функции, разделенному на произведе-ние модулей векторов, проведенных из нулей передаточнойфункции разомкнутой системы, и умноженному на отношениестарших коэффициентов:

Это равенство вытекает из (7-8).

Пример 1. Передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы s3-b5s2+6s-f-/l = 0. Наносим полюсы: si = 0 (начало координат), s2=— 2, s3=—3 (рис. 7-6)-. В этих точках в соответствии со свойством 1 начинаются ветви годографа. Нулей в

передаточной функции разомкнутой системы нет, и в соответствии со свойством 2 все три ветви уходят в бесконечность, причем полюс Sz=—3 уходит в бесконечность по вещественной оси влево, два других по свойству 3 приближаются к асимптотам, расположенным под углами +60° и —60° к вещественной оси. Точки пересечения асимптот определятся  из уравнения

Точка ртрыва годографа от вещественной оси лежит в соответствии со свойством 7 между полюсами $i и S2. Ее координату х найдем из уравнения

Отсюда, решая квадратное уравнение, находим

* = — 0,785.

Применяя к характеристическому уравнению ^-разбиение, получаем:

откуда со2=6; со=2,46;

А = 30.

Вид годографа показан на рис. 7-6. Цифры в кружках указывают значения А для соответствующих точек годографа.

Пример 2*. Дана передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы s4+5s3 + 8s2+ (6+A)s + +2Л = 0. Передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсы si = 0, S2=—3, S3,4=—1±/ и один конечный нуль S5 = —2. Одна из ветвей годографа, начинающаяся в начале координат, заканчивается в точке —2 вещественной оси и представляет собой отрезок вещественной оси (—2; 0). Три другие ветви уходят в бесконечность: одна — из полюса —3 влево по вещественной оси, две другие из комплексных полюсов приближаются к асимптотам, расположенными под углами +60° и —60° к вещественной оси. Координата точки пересечения асимптот

Найдем углы выхода годографа из комплексных полюсов. На рис. 7-7 показаны углы, образованные векторами, проведенными из нулей и полюсов разомкнутой системы в полюс —Они равны: вi = 135°, 02=26,6°, 84=90°, е5 = 45°. Отсюда

Вследствие симметрии угол выхода годографа нз сопряженного полюса <—-1, —равен +26,6°.

Пересечение годографа с мнимой осью найдем из уравнений D-разбиения:

откуда со2 = (А + 6)/5.

Подставив значение со2 в первое из уравнений, найдем Л =7,03; со =1,61. Годограф показан на рис. 7-8.