7-3. ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Построение корневого годографа — это вспомогательный, промежуточный этап в исследовании качества.

Для непосредственной оценки показателей качества собственной составляющей переходного процесса (7-6) с помощью корневого годографа выразим сначала через нули и полюсы относительную переходную составляющую регулируемой величины x(t) при единичном ступенчатом управляющем воздействии

"(0=1(0:

Очевидно, что установившееся значение £(оо) равно единице. Разлагая на множители числитель M(s) и знаменатель D(s), получаем:

где Со и bo — коэффициенты при старших члейах соответственно знаменателя D(s) и числителя M(s) передаточной функции замкнутой системы, a Si и sn+i — соответственно полюсы и нули этой передаточной функции, причем полюсы являются точками корневого годографа, построенного при заданном А, а нули— его конечными точками. Так как \

то

и, следовательно,

S t

Постоянная \Ak\ называется амплитудой функции е k . Условимся приписывать индекс k — \ составляющей, рассматриваемой в данный момент. Тогда

Если в числителе передаточной функции нулей нет, то

Из рассмотрения выражений (7-16) и (7-17) можно сделать •следующие выводы.

Амплитуда каждой из составляющих собственной переходной функции возрастает при сближении соответствующего ей •полюса с другим полюсом.

Наиболее сильно влияют на переходный процесс, как правило, полюсы, ближе расположенные к мнимой оси, поскольку им соответствуют наибольшие амплитуды \Аь\. Однако для уверенного суждения о доминирующих полюсах следует проверить значения |А&| расчетом.

По мере удаления полюсов от мнимой оси их влияние ослабевает. При удалении всех остальных полюсов, кроме данного, амплитуда несколько возрастает, стремясь в пределе к единице при Sfe-^co.

В этом можно убедиться, приведя (7-17) к виду

4.         При сближении полюса Sj с каким-либо нулем амплитудаубывает и становится равной нулю, когда полюс и нуль совпадут.При этом порядок уравнения понизится вследствие сокращенияв числителе и знаменателе двух одинаковых множителей, рас-сматриваемая составляющая переходной функции исчезнет, т. е.

нуль, совпадающий с полюсом, компенсирует влияние последнего. Близкий к полюсу нуль ослабляет влияние полюса, уменьшая амплитуду. Однако при сокращении множителей в числителе и знаменателе передаточной функции происходит потеря-управляемости по некоторым воздействиям в системе, поэтому следует убедиться, что система остается работоспособной по существенным воздействиям.

5. Приближение нулей к началу координат приводит к возрастанию амплитуды. В этом можно убедиться, приведя второй множитель в (7-16) к виду

Таким образом, корневой годограф позволяет сравнительно-просто найти амплитуды \Ak\ и выделить доминирующие полюсы. При этом те составляющие, у которых амплитуды меньше доминирующей на порядок или более, можно не учитывать, т. е. с помощью годографа можно обоснованно понизить порядок уравнения.

С помощью корневого годографа можно построить отдельные-составляющие переходного процесса. Если полюс si вещественный, способ построения очевиден:по (7-16) вычисляется Ах (соответствующие длины векторов берутся из годографа), затем А\ умножаются на значения функции es»*, которые берутся из таблиц. При комплексном полюсе sx ——ai-f-/Bi расчет целесообразно вести так.

Каждый из сомножителей Sk, sn+k изображается на годографе вектором, проведенным из начала координат в точки Sh,sn+k. Из чертежа определяются длины векторов Lk, Ln±k и их фазовые-углы щ, фп+fe. Так же находятся длины k, ln+k и фазовые углы 0й, Qn+k векторов (si — Sh), s{ — sn+h, проведенных в точки s&,. sn+fe из полюса s{. Тогда

где

Для сопряженного корня s=—а\—j$\ получится сопряженная комплексная величина Ах=\Ах\е~^ t Соответствующая комплексным полюсам составляющая переходного процесса

Вычисление сводится к простым арифметическим операциям над величинами, полученными из корневого годографа, и табличными функциями.

Если к системе приложено заданное воздействие в виде функции времени, то показатели качества зависят от того, что требуется — подавить или воспроизвести воздействие. Подавление сводится к уменьшению собственной и вынужденной составляющих, и для этого случая сохраняют силу правила относительно нулей и полюсов передаточной функции, приведенные выше. Для уменьшения вынужденной составляющей следует, кроме того, стремиться приблизить нули передаточной функции к полюсам спектра воздействия.

При воспроизведении для уменьшения ошибки, как показано в [58], следует стремиться по возможности удалять от полюсов спектра воздействия как нули, так и полюсы передаточной функции. Сближение нуля передаточной функции с полюсом воздействия приводит к подавлению соответствующей составляющей, т. е. к искажению воспроизводимой функции, а сближение полюсов вызывает «обобщенный» резонанс, при котором также увеличивается искажение. Полезно также приближать нули передаточной функции к ее полюсам, так как при этом уменьшается собственная составляющая, искажающая воспроизведение.

Сближение нулей передаточной функции с полюсами воздействия приводит к уменьшению установившихся- ошибок.

Для уменьшения вынужденной составляющей можно, используя средства коррекции, уменьшать коэффициенты св в -слагаемых вынужденной составляющей

где si — полюс спектра воздействия. Уменьшить величину этих ^коэффициентов, приблизив нуль передаточной функции [корень полинома M(s)] к полюсу воздействия S/. В самом деле, М(s) —b0(s—sn+i) (s—Sn+2)—, где snu — нули. Когда один из этих нулей становится равным si, коэффициент обращается в нуль. Например, постоянное воздействие со спектром l/s компенсируется введением астатизма, т. е. выбором M(s) —sM\ (s). Воздействие f(t)=at со спектром a/s2 компенсируется введением двух нулей в начале координат: М(s) =s2Mi(s), т.е. введением астатизма второго порядка. Экспоненциальное воздействие со спектром l/(s+a) компенсируется выбором одного из нулей полинома M(s) равным полюсу воздействия, т. е. —а, и т. д.

Пусть из корневого годографа следует, что доминирующий полюс — вещественный, ближайший к мнимой оси:

а соответствующая этому полюсу амплитуда равна А\. Тогда 'время регулирования Гр можно приближенно оценить как время

убывания ординат экспоненты Axe~bt до значения АЛь где Д — относительное значение изменения амплитуды:

Если, например, Д = 0,05, то

Пусть доминирует ближайшая к мнимой оси пара комплексных полюсов — 6i±/8i, и амплитуда, соответствующая этой паре колебательной составляющей процесса, равна 2А\.

В этом случае для времени регулирования также можно получить приближенную оценку, если рассматривать в качестве Гр время уменьшения значения 2A\e~bii до А2А\. При Д=0,05-получим ту же формулу

Если среди доминирующих полюсов имеется пара комплексных su2=—Si±/a>t (остальные комплексные корни могут не учитываться), а вещественных полюсов всего г, то перерегулирование приближенно можно оценить так [61]. Если бы влияла только пара комплексных корней, то

где 8а. и ф£ — фазовые углы векторов, проведенных в полюс Si соответственно из полюсов Sk и нулей sn+k передаточной функции, а

Влияние экспоненциальных составляющих можно учесть грубо, прибавив к найденному перерегулированию сумму значений всех ординат экспоненциальных составляющих в момент' tm достижения максимума переходной кривой:

где

Степень устойчивости. Из сказанного ранее видно, что для оценки времени регулирования большое значение имеет расстояние б от мнимой оси до ближайшего полюса. Это расстояние, или вещественная часть корня, ближайшего к мнимой оси,, называется степенью устойчивости. Первая приближенная оцен-

Ка качества по степени устойчивости, по-видимому, рассматривалась в неопубликованном докладе И. Н. Вознесенского, ссылка на который дана в [28]. Независимо этот вопрос был рассмотрен Я. 3. Цыпкиным и П. В. Бромбергом [67].

Сместим в плоскости s мнимую ось влево на величину степени устойчивости б. В новой системе координат аргумент характеристического уравнения станет равным г] = 5 + б. Подставляя 5=т) — б в уравнение

получим новое, так называемое смещенное уравнение

коэффициенты которого можно вычислить через коэффициенты исходного уравнения, разложив D(r\—б) в степенной ряд:

откуда коэффициент при r\n~k

Так как теперь мнимая ось проходит через полюс (или пару комплексных полюсов), система находится на границе устойчивости, а старший определитель Гурвица смещенной системы обращается в нуль:

Если An=D(—б) фО, то на мнимую ось смещенного уравнения попадает пара чисто мнимых корней, т. е. в исходной системе они были ближайшими к мнимой оси. Если же Ап=0, то смещенное уравнение имеет нулевой корень, а в исходном уравнении ближайшим к мнимой оси был вещественный корень.

Определение б из уравнения Д„_1=0 не проще, чем вычисление корней исходного уравнения, и смещенное уравнение можно использовать:

1.         Для определения условия, обеспечивающего степень ус-тойчивости не меньше заданной. Заданную степень устойчивостиможно примерно определить через желаемое время регулиро-вания из полученных выше в (7-20), (7-21) оценок для Тр:

2.         Для построения в плоскости параметров областей, в ко-торых степень устойчивости будет не меньше заданной. ДляэтоцЦели удобно использовать метод /^-разбиения.

Проиллюстрируем применение этого метода на примере уравнения Вышнеградского

Подставив в уравнение общее выражение для корня s=—ct-f -г-/со, получим:

Приравнивая порознь нулю вещественную и мнимую части, получаем для (о=£0:

И ДЛЯ (0 = 0

По этим формулам можно построить различные характеристики распределения полюсов. Рассмотрим некоторые из них. Граница области устойчивости. Полагая а=0, получаем:

т. е. АВ=\. Это — уже известное уравнение гиперболы Вышнеградского (кривая / на рис. 7-9).

Граница области апериодичности. Приняв © = 0, из (7-28) получим искомую границу в параметрической форме

(кривые 2 и 3 на рис. 7-9). Поскольку на кривой / со отлична от нуля, а на кривых 2 и 3 со = 0, то области // и /// между кривыми 2, 3, с одной стороны, и кривой /, с другой, являются областями комплексных, а область II — вещественных корней. Вышнеградским уравнение этой границы было получено в форме

Кривые равных вещественных частей корней. Полагая в (7-28) a—const и изменяя со, получаем кривые равных значений вещественной части комплексных корней. Индексы на кривых указывают те значения а, для которых построены кривые. Кривые, вычерченные сплошными линиями в области I, соответствуют такому расположению, когда ближайшими к мнимой оси оказываются комплексные корни. Их продолжения штриховыми линиями в области /// соответствуют другому расположению, когда мнимой оси ближе вещественный корень. На границе областей / и /// все три корня равно удалены от мнимой оси, т. е. их

вещественные части равны. Уравнение границы областей / и III можно получить, положив st=—a, s2=— a-f-/<», sz=—cc — /©. Тогда по формуле Вьета SiS2s3 = —а3/а0 =—1, или —а(—a-f-, -f-/со) (—-а—/©) =—1, откуда

Подставив найденное значение а2+со2 в (7-28), получим уравнение кривой 4 в параметрической форме:

или

Вышнеградский показал также, что область III, ограниченная кривыми 3 и 4, является областью монотонности для решений однородного дифференциального уравнения

Из (7-29) при a—const получаются прямые, соответствующие заданному вещественному корню. В областях // и III они соответствуют случаю, когда ближайшим к мнимой оси будет вещественный корень, и показаны сплошными прямыми линиями. Их продолжения в области / соответствуют обратному расположению.

Таким образом, сплошные линии на рис. 7-9 являются линиями равной степени устойчивости а, а их штриховые продолжения м штриховые прямые — линиями равного наибольшего удаления корней от мнимой оси.

Кривые равного значения модуля. Модуль комплексных корней равенЗаменив в (7-28) выражение а2-|-сй2 через Я2, получим:

Исключив отсюда 2а, найдем уравнение прямой для линии равных значений модулей комплексных корней:

Полагая в уравнениях (7-29) а—Я, получаем уравнения прямых

или

которые представляют собой кривые равных значений вещественных корней. Нетрудно видеть, что прямые (7-32) и (7-33) по существу отличаются только индексами. Заменив в (7-33) величину Я на 1/т2, получим уравнение

совпадающее с (7-32).

На рис. 7-10 построены следующие прямые равных значений модулей:

в области I комплексных корней ниже и правее биссектрисы А—В построены сплошными линиями прямые равного модуля комплексной пары корней, индексы на которых равны значениям Я;

в области I выше биссектрисы А—В нанесены сплошными линиями прямые равных модулей вещественных корней, индексы на которых равны Я для вещественного корня;

в области II вещественных корней в каждой точке должны пересекаться три прямые, соответствующие трем вещественным корням, но, чтобы не затемнять рисунка, на них нанесены только

ве —продолжение сплошных линий из области /, индексы на коХОрых следует пересчитать по формуле т=\/У~Н (индексы на прямых не надписаны), и штриховые линии, построенные для ДРУГ0Г0 вещественного корня, на которых выписаны индек-

сы, соответствующие значению модуля этого корня. Значение модуля третьего корня можно вычислить, разделив единицу на произведение индексов двух нанесенных на график прямых, проходящих через рассматриваемую точку.

Точно так же легко находятся модули остальных корней; ниже биссектрисы А — В модуль   вещественного   корня равен где т — индекс сплошной прямой, проходящей через рассматриваемую точку, а выше биссектрисы квадрат модуля комплексной пары корней равен \\т.

На рис. 7-10 в области I показаны также прерывистой линией кривые равной колебательности jx=co/a. Для построения этих кривых необходимо подставить co = cxli в (7-28), а затем, зада, ваясь p,=const (индекс на кривой), изменять а.