6.4.2. ПРИМЕР

Чтобы продемонстрировать, с какими конкретными вопросами можно встретиться, рассмотрим простую одномерную двухкомпонентную смесь, имеющую нормальную плотность:

25 выборок, показанных в табл. 6. 1, были отобраны из этой смеси с —2 и [і2=2.

Используем эти выборки для вычисления логарифма функции правдоподобия

для различных значений |іі и На рис. 6. 1 показано, как изменяется I в зависимости от ці и ца. Максимальное значение I достигается при |д,1=—2,130 и ііі2= 1,668, которые находятся поблизости

от значений Ці=—2 и |Ха=2^). Однако I достигает другого максимума, сравнимого с первым, при |іі=2,085 и 1^,5=—1,257. Грубо говоря, это решение соответствует взаимной замене и ца. Отметим, что, если бы априорные вероятности были равны, взаимная замена и }і2 не вызвала бы изменения логарифма функции правдоподобия. Таким образом, когда плотность смеси не идентифи-

цируема, решение по максимуму правдоподобия не является единственным.

Можно дополнительно взглянуть на природу этих множественных решений, изучая результирующие оценки плотностей смеси. Рис. 6. 2 показывает истинную плотность смеси и оценки, полученные с использованием оценок по максимуму правдоподобия, как если бы они были истинными значениями параметров. 25 значений выборок показаны в виде точек вдоль оси абсцисс. Отметим, что максимумы как действительной плотности смеси, так и решения по максимуму правдоподобия размещены там же, где расположены две основные группы точек. Оценка, соответствующая меньшему

локальному максимуму логарифма функции правдоподобия, представляет С(^ой зеркальное отображение, но ее максимумы также соответствуют группам точек. На первый взгляд ни одно из решений не является явно лучшим, и оба представляют интерес.

Если соотношение (13) используется для итерационного решения уравнения (12), результаты зависят от начальных значений |іі(0) и |Гг(0)- Рис. 6.3 показывает, как различные начальные точки приводят к различным решениям, и дает некоторое представление о степени сходимости. Отметим, что, если }Хі(0)=|і2(0), мы попадаем в седловую точку за один шаг. Это не случайность. Это происходит по той простой причине, что в этой начальной точке Р ((йіідг^, ці(0))= =Р{(л^\х^, іі2{0)). Таким образом, уравнение (13) дает средние для всех выборок |Іі и 1^2 при всех последующих итерациях. Ясно, что это общее явление, и такие решения в виде седловой точки можно ожидать, если выбор начальной точки не дает направленного смещения в сторону от симметричного ответа.