6.8.3.1. Матрицы рассеяния

Другой интересный класс функций критериев можно получить из матриц рассеяния, используемых в множественном дискриминантном анализе. Следующие определения непосредственно вытекают из определений, данных в разд. 4.11.

Средний вектор г-й группы

Общий средний вектор

Матрица рассеяния для і-й группы  Матрица рассеяния внутри группы

Матрица рассеяния между группами

Общая матрица рассеяния

Как и раньше, из этих определений следует, что общая матрица рассеяния представляет собой сумму матрицы рассеяния внутри группы и матрицы рассеяния между группами:

Отметим, что общая матрица рассеяния не зависит от того, как множество выборок разделено на группы. Она зависит только от общего множества выборок. Матрицы рассеяния, внутригрупповые и межгрупповые, все же зависят от разделения. Грубо говоря, существует взаимный обмен между этими двумя матрицами, при этом межгрупповое рассеяние увеличивается, если внутригрупповое уменьшается, ^о удобно, потому что, минимизируя внутригрупповую матрицу, мы максимизируем межгрупповую.

Чтобы более точно говорить о степени внутригруппового и меж- группового рассеяния, нам нужно ввести скалярную меру матрицы рассеяния. Рассмотрим две меры — след и определитель. В случае одной переменной эти величины эквивалентны, и мы можем определить оптимальное разделение как такое, которое минимизирует S^- или максимизирует В случае многих переменных возникают сложности, и было предложено несколько критериев оптимальности.