6.8.3.3.    Определитель в качестве критерия

В разд. 4.11 мы использовали определитель матрицы рассеяния для получения скалярной меры рассеяния. Грубо говоря, он измеряет квадрат величины рассеяния, поскольку пропорционален произведению дисперсий в направлении главных осей. Так как будет вырожденной матрицей, если число групп меньше или равно размерности, то [5^1 — явно плохой выбор для функции критерия. Матрица 5^ может быть вырожденной и непременно будет таковой в случае, если п—с меньше, чем размерность d ^). Однако, если мы предполагаем, что Sw невырожденна, то приходим к функции критерия

Разделение, которое минимизирует Jа, обычно подобно разделению, которое минимизирует 7^, но они не обязательно одинаковы. Мы заметили ранее, что разделение, которое минимизирует квадратичную ошибку, может изменяться, если изменяется масштаб по осям. Этого не происходит с Jd- Чтобы выяснить, почему это так, рассмотрим невырожденную матрицу Т и преобразование переменных    Считая разделение постоянным, мы получаем новые средние векторы m'i=Tmt и новые матрицы рассеяния S^==7’Si7’^ Таким образом, изменяется на

Из того, что масштабныйчмножитель \Т\^ одинаков для всех разделений, следует, что Jd и J’a дают одно и то же разделение, и, значит, оптимальная группировка, основанная на Jd, инвариантна относительно линейных невырожденных преобразований данных.