7.5.2. СРАВНЕНИЕ С ЭТАЛОНОМ —СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Некоторые разновидности методов сравнения с эталоном можно интерпретировать в рамках теории статистических решений, развитой в ч. I. Продемонстрируем такую интерпретацию с помощью простого примера.

Предположим, что у нас есть бинарное изображение g{i, /), и пусть нам известно, что оно должно соответствовать одной из двух возможных идеальных сцен, скажем г{і, /) или s{i, /). Реальное изображение g, однако, является только несовершенным представлением идеальной сцены. Предположим, что с вероятностью р>\12 произвольный элемент из^ражения g имеет величину, определяемую идеальной сценой, которую представляет изображение g. Если эти вероятности для всех элементов независимы, мы легко можем записать вероятности появления изображения g при условии, что либо г, либо5 является для него исходной идеальной сценой. А именно если обозначить символами Юг и события, состоящие в том, что идеальной сценой оказывается соответственно г(і, j) и s(i, /), то мы получим

и

Заметим, что в этих уравнениях показатели степени при р равны единице, если идеальное и реальное изображения имеют одно и то же значение в данной точке (і, /), и равны нулю, если эти значения разные; наоборот, показатели степени при (1—р) равны единице, если идеальное и реальное изображения в данной точке (г, /) различны.

Предположим теперь, что мы хотим установить, представляет изображение g сцену г или сцену s. Мы знаем из гл. 2, что по правилу классификации, дающему минимальн-ую вероятность ошибок, нужно вычислять апостериорные вероятности P((Orlg) и P{(j)s\g) и выбирать то событие (ю^ или ю*), для которого апостериорная вероятность больше. Если допустить для простоты, что апр'иорные вероятности появления этих двух сцен равны, это правило, как мы знаем, будет эквивалентно правилу, отбирающему класс, для которого условная вероятность больше. Как и в предыдущих главах, мы можем упростить дело, выбирая класс, для которого максимален логарифм условной вероятности. Таким образом, из (6) и (7) получаем, что необходимо вычислить

и

Заметим теперь, что log [{1—р)/р] отрицателен, так как мы задали р>1/2; кроме того, последние члены в (8) и (9) одинаковы. Следовательно, правило классификации изображения g, дающее минимальную вероятность ошибок, выбирает событие а>г, если

и событие (Os в противном случае. Таким образом, мы видим, что в этом примере наши статистические предположения приводят к правилу минимальной вероятности ошибки, которое в точности эквивалентно методу сравнения с эталоном на основе меры сходства, определяемой формулой (1). Как и следовало ожидать из интуитивных соображений, идеальные изображения г и s — это эталоны.

В предыдущем примере есть несколько моментов, о которых следует упомянуть. Во-первых, пусть, например, нам известно, что изображение g на самом деле может не соответствовать ни г, ни s, т. е. мы хотим допустить также возможность отказа рассматривать изображение g в дополнение к возможностям классифицировать его как сцену г или как сцену s. Это уточнение также может быть проанализировано в статистических терминах. На практике, однако, более обычный прием — это установка порога для меры сходства с эталоном. Если полученное наилучшее сходство не достигает порога, изображение g отбраковывается, т. е. принимается решение, что g не соответствует никакой из исходных идеальных сцен.

Выше обсуждалась другая типичная ситуация. Часто интересующая нас идеальная сцена является только частью изображения g.

В этом случае эталоны определяются на областях, меньших, чем область g, и перемещаются по всему изображению. Каждое положение эталона ставит перед нами новую задачу классификации, которая, по крайней мере в принципе, может исследоваться тем же методом, что и наша иллюстративная задача.

Применение формальных статистических методов классификации к проблемам выделения объектов на изображении оказалось на практике весьма сложным делом., Одна из основных трудностей заключается в выборе полезных статистических предположений. В качестве примера рассмотрим только что упомянутую задачу перемещения эталона по картинке с целью обнаружения объекта. Предположим, что хорошее сходство с эталоном имело место в двух его позициях, разделенных только одним элементом изображения. Конечно, из этого не следует, что были найдены два отдельных объекта: скорее всего, оба положения эталона соответствуют одному и тому же объекту на изображении. Формально этот эффект можно описать, вводя статистические связи между элементами. На практике, однако, обычно гораздо проще разработать для таких случаев специальные процедуры с целью обойти эти трудности, а не преодолевать их с помощью формальных аналитических приемов. Тем не менее статистический подход при разработке процедур сравнения с эталоном обеспечивает если и не универсальные рецепты, то достаточно хорошее руководство.