8.2. ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ

В предыдущей главе мы оставили без ответа вопрос о том, насколько точно следует квантовать изображение, чтобы сохранить всю содержащуюся в нем информацию. Рассмотрим теперь основной теоретический результат, относящийся к этому вопросу, а именно знаменитую теорему отсчетов Шеннона ^y.

Основная идея теоремы отсчетов заключается в установлении соответствия между резкими изменениями интенсивности на изображении и высокими пространственными частотами в его спектре. Если спектр изображения нё содержит высоких частот, то само изображение не содержит резких перепадов уровня полутонов, и поэтому можно предположить, что такое изображение не следует квантовать слишком точно. В соответствии с этим мы будем называть функцию интенсивности g{x, у) ограниченной по полосе частот, если ее спектр Фурье fy) равен нулю во всех точках, где \fj[ или \fy\ больше, чем некоторая величина W. Теорема отсчетов Шеннона утверждает, что ограниченная по полосе частот функция может быть точно восстановлена по отсчетам изображения, взятым на ненулевом расстоянии друг от друга, а также показывает, как должно выполняться восстановление.

Математические детали теоремы отсчетов станут несколько ясней, если мы ограничим наше внимание одномерным случаем. В случае одномерной функции интенсивности ^) формулы прямого и обратного преобразований Фурье (1) и (2) принимают более простой вид:

и

Одномерная функция интенсивности g {х) ограничена по полосе частот, если ее спектр Фурье G (fx) равен нулю во всех точках, где |/а;| больше, чем некоторая величина W, называемая шириной полосы частот.

Для того чтобы упростить формулировку теоремы отсчетов, нам необходимо сначала ввести одно дополнительное определение. Поскольку при доказательстве теоремы появляются функции вида sin (ли)/лы, определим новую функцию, обозначив ее sine:

График этой функции показан на рис. 8.2.

Предположим теперь, что нам дана (одномерная) функция интенсивности g и ее спектр Фурье G ограничен по ширине полосы частот величиной W. Разложим функцию G(f^ в ряд Фурье на интервале —W<fx<W:

где коэффициенты разложения с„ определяются формулой

Спектр G тождественно равен нулю вне его полосы частот, поэтому в формуле обратного преобразования (4) мы можем заменить бес-

конечные пределы на ±11?". Следовательно, интеграл в формуле (6) представляет собой точный результат g (х) обратного преобразования, вычисленный в точках x=ml2W. Поэтому выражение (6) принимает вид

Подставляя (7) в (5), получаем

^(/лг) = 0 в остальных случаях.

Уже из формулы (8) можно видеть, что функция интенсивности g полностью определяется отсчетами, взятыми на конечном расстоянии друг от друга, поскольку ее спектр зависит только от величин g, взятых с интервалом M2W. Окончательный вывод теоремы отсчетов может быть получен применением. обратного преобразования Фурье к выражению (8). Это нетрудно, поскольку для этого необходимо лишь проинтегрировать экспоненциальную функцию в пределах от —W до W. Пропуская подробности, выпишем результат;

Выражение (9) и есть результат теоремы отсчетов Шеннона. На словах оно означает, что функцию g можно воспроизвести, расположив набор функций sine через интервалы M2W вдоль оси X, введя масштабирование умножением каждой функции sine на величину отсчета g, взятого в ее центральной точке, и сложив все масштабированные функции sine. Чем больше ширина полосы частот W, тем меньше должен быть отсчетный интервал \!2W. Смысл этого утверждения очевиден; большая полоса частот означает, что функция интенсивности может изменяться быстрей, и поэтому отсчеты должны располагаться чаще с тем, чтобы уловить все эти изменения. Другой теоретический результат, подтверждающий такую интерпретацию, известен как неравенство Бернштейна. Это неравенство, которое мы приводим без доказательства!, можно сформулировать следующим образом. Предположим, что функция интенсивности не только ограничена по полосе частот, но и не превышает по. модулю некоторой величины М. Тогда ее производная не превышает по модулю 2nWM. Выразим ту же мысль с помощью формул; если для функции g ширина полосы частот равна W и |g(x)|<iW для всех х, то Ig'(х)1^2л Поскольку любое физически существующее

изображение имеет ограниченную интенсивность, из неравенства

Бернштейна следует, что максимальная скорость изменения функции интенсивности пропорциональна ширине ее полосы частот.

Для двумерных функций интенсивности положение полностью аналогично только что исследованному одномерному случаю как в математическом плане, так и с точки зрения качественного анализа. Двумерную функцию интенсивности можно полностью определить ее отсчетами, взятыми в узлах квадратной сетки с интервалом M2W. Незначительное усложнение связано с тем обстоятельством, что эта функция может иметь различную ширину полосы частот в направлении осей и fy, т. е. спектр G{fx, /г/)=0, когда либо l/jc|> > Wx, nvi6o\fy\>Wy. Если такой случай имеет место, мы можем брать отсчеты в узлах прямоугольной, а не квадратной сетки с интервалами \l2Wx и \l2Wy в направлении осей X яѴ соответственно. При этом небольшом обобщении двумерный аналог формулы (9) выглядит следующим образом:

Здесь снова имеется сумма (произведений) функций sine, причем каждое слагаемое помножено на масштабный коэффициент, равный величине соответствующего отсчета исходной функции интенсивности.

Итак, теорема отсчетов представляет для нас интерес с двух дополняющих друг друга точек зрения. С точки зрения практики она показывает, насколько точно нужно квантовать функцию интенсивности, чтобы сохранить всю первоначальную информацию. С точки зрения качественного анализа она дает дополнительное понимание смысла высоких пространственных частот.