8.3. СРАВНЕНИЕ С ЭТАЛОНОМ И ТЕОРЕМА О СВЕРТКЕ

Мы уже писали в предыдущей главе о том, что сравнение с эталоном во всем многообразии своих форм представляет собой одну из фундаментальных операций анализа изображений. Теперь мы хотели бы устанобить связь между одной из форм сравнения с эталоном и преобразованием Фурье. Для наших целей удобней считать, что сравнение с эталоном выполняется с помощью вычисления функции взаимной корреляции. Ее определение в дискретной форме было дано в выражении (5) гл. 7, но существует такое же определение и для аналоговых функций. Пусть даны аналоговая функция интенсивности g{x, у) и аналоговый эталон t{x, у). Тогда их

функция взаимной корреляции Rgt (х, Ц) определяется формулой

В силу определенных причин, которые пока не очевидны, будем называть сверткой g^t двух функций интенсивности gat следующую величину;

Операция свертки коммутативна и может интерпретироваться следующим образом; функция t переносится в заданную точку {х, у) и затем переворачивается относительно перенесенных осей координат. Далее вычисляется взаимная корреляция между перевернутой функцией t и исходной функцией интенсивности g. В соответствии с этим, если эталон описывается функцией t {х, у), его перевернутый вариант t{x, у) определяется формулой

Ясно, что поскольку

Таким образом, свертка, по существу, эквивалентна корреляции. Мы увидим в скором времени из теоремы о свертке, что свертка эквивалентна также перемножению спектров. Следовательно, у нас появится возможность вычисления взаимной корреляции путем перемножения.

Чтобы упростить доказательство теоремы о свертке, рассмотрим предварительно более простое утверждение, называемое обычно теоремой о сдвиге.

Теорема о сдвиге. Если {g{x, y)}=G(fx, fy), то

Доказательство. Записав определение спектра и подставив величины х'=х—а и у'=у—^, получим

что доказывает теорему.

После этих предварительных замечаний сформулируем теорему о свертке и коротко докажем ее.

Теорема о свертке. Если даны две функции g и t со спектрами Фурье G и Т, то

Доказательство. По определению  Изменив порядок интегрирования, получим

Согласно теореме о сдвиге,

что и завершает доказательство.

Из теоремы о свертке и формулы (13) можно получить следующую формулу для вычисления функции взаимной корреляции

изображения g и эталона t:

Выражение (14) представляет собой широко применяемый оператор, посредством которого метод преобразования Фурье используется для сравнения с эталоном. Хотя в этой формуле преобразование выполняется трижды, иногда это сделать проще, чем вычислять корреляцию непосредственно. Особенно это справедливо по отношению к изображениям в аналоговой форме, существующим в виде диапозитивов, поскольку преобразование Фурье и перемножение легко реализуются оптическими средствами. Заметим, что формула (14) дает величину взаимной корреляции в любой точке. Другими словами, величины взаимной корреляции для всех положений эталона получаются с помощью единственной операции. Мы можем поэтому считать Rgt(x, у) особой «функцией интенсивности», величина которой отображает степень соответствия между изображением и эталоном, смещенным в точку (х, у). По этой причине данную операцию часто предлагают в качестве средства для обнаружения «объекта» t где-либо на изображении g.