Задачи

1.   Выведите следующие фундаментальные свойства двумерного преобразования Фурье.

а)   Теорема о линейности;

для любых подходящих для преобразования функций gi и gj и любых констант а И Ь.

б)   Теорема о растяжении:

Если S^{g{x, y))=G{}x, fy), то

в)   Теорема Парсеваля:

Если S^{g(x, y))—GQx< fy), 40

где 11- IP обозначает квадрат модуля комплексной величины. Дайте физическую интерпретацию этой теоремы.

2.   Объясните качественно, почему изображение на выходе линейного пространственного фильтра должно, быть сверткой входново изображения с импульсной реакцией фильтра.

3.   Предложите метод автоматической фокусировки камеры, основанный на преобразовании Фурье.

4.   Докажите, что

5.   а) Запишите передаточную функцию наилучшего линейного фильтра для оценки величины сивнала, спектральная плотность мощности которого не перекрывает спектральную плотность мощности шума. (Рассмотрите только одномерный случай.) Запишите выражение для выходного сигнала фильтра через его импульсную реакцию.

б) При тех же условиях, что и в п. «а», запишите выражение для наилучшей оценки производной сигнала. Объясните качественно, почему эта оценка гармонирует с полученной из интуитивных соображений оценкой, которая обсуждалась в предыдущей главе и заключалась в вычитании усредненных значений функции интенсивности.

6.   а) Произвольную функцию интенсивности g{x, у) иногда записывают в виде g{x, у)~І(х, y)-r(x, у), где величина /(х, у) представляет собой интенсивность

света, падающего на тот элемент трехмерного объекта, который соответствует точке изображения (*, у), а величина г(х, у) обозначает коэффициент отражения этого элемента. Предположим, что освещенность при изменении (х, у) меняется медленно, а коэффициент отражения, представляющий собой свойство объектов и текстур, меняется быстро. Придумайте общий принцип построения нелинейного пространственного фильтра, который разделял бы составляющие, образованные освещенностью и отражательной способностью.

б)   Предположим теперь, что нам нужно подчеркивать перепады интенсивности в изображении, связанные с отражательной способностью, и подавлять изменения, связанные с освещенностью. Предложите специальный фильтр для решения этой задачи, взяв за основу фильтр, полученный в п. «а».