9.3.6.       АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПИСАНИЯ ФОРМЫ

До сих пор мы рассмотрели несколько способов, с помощью которых произвольный объект может быть, по крайней мере в принципе, представлен точно. Наиболее прямое из таких представлений просто указывает для каждой точки на плоскости изображения принадлежит ли эта точка объекту. Такое представление называется характеристической функцией объекта; характеристическая функция равна нулю в точках вне объекта и единице в точках внутри него. Очевидно, что характеристическая функция представляет собой обычную

функцию интенсивности g(x, у), принимающую значения только нуль или единица. Другой вариант точного представления объекта может быть основан на его естественном уравнении k=k(s), которое задает кривизну границы k как функцию длины дуги s, измеряемой от некоторой произвольной граничной точки. Эти полные описания объекта противоречат нашему замечанию о том, что описание должно быть проще, чем сам описываемый объект. Однако можно использовать различные математические методы, чтобы как-то аппроксимировать эти полные описания и таким путем получить более простые их формы. Обычный подход заключается в разложении точного представления в ряд и в последующем использовании только нескольких первых членов ряда. Коэффициенты при этих членах и составляют описание объекта.

Укажем сразу же один возможный вариант описания, который не работает. Мы можем по наивности разложить характеристическую функцию объекта g(x, у) в ряд Тейлора в некоторой точке (л:0> у0)- К сожалению, ряд не сходится к функции g(x, у). В самом деле, для всех точек (х, у) величина разложения должна быть либо нуль, либо единица в зависимости от того, находится точка (хй, у0) внутри объекта или снаружи. Вся беда в том, что характеристическая функция существенно разрывна на границе объекта. В следующих разделах мы будем обсуждать два метода, позволяющие обойти эту трудность. Первый основан на разложении в ряд естественной функции *) объекта; второй тесно связан с ее спектром Фурье.