9.3.6.1.    Разложение естественной функции

Оперируя с естественной функцией объекта, мы неявно принимаем, что объект не имеет дыр и состоит только из одной связной компоненты. Если объект содержит более чем одну компоненту, мы используем столько естественных функций, сколько имеется компонент. Все дыры объекта игнорируются (хотя мы можем использовать естественную функцию границы дыры). В данный момент важным для наших целей 9войством естественной функции k (s) любого объекта является ее периодичность. Начиная с произвольной граничной точки, функция k(s) определяет кривизну границы в зависимости от длины дуги 2). Если длина границы объекта равна L, легко видеть, что равенство k(s)=k(s+L) всегда имеет место независимо от выбора начальной точки. Следовательно, удобной формой представления естественной функции является ряд Фурье. А имен

но мы можем записать функцию k{s) в виде

где коэффициенты определяются формулой

Для произвольного заданного объекта можно вычислить несколько первых коэффициентов разложения. Эти коэффициенты и составят описание объекта. Если граница не содержит резких разрывов кривизны, то даже несколько членов ряда Фурье обеспечивают хорошую аппроксимацию, и, следовательно, эти коэ(^ициенты оказываются весьма информативными.

Отвлечемся на короткое время и рассмотрим потенциальные трудности, связанные с применением естественной функции. Если в некоторой точке граница мгновенно изменяет направление, то кривизна в этой точке не определена. Для прямоугольника, например, естественная функция тождественно равна нулю всюду, кроме четырех точек; в этих точках функция принимает бесконечное значение.

Чтобы избавиться от этого, мы определим новую «естественную функцию» как интеграл от старой; это значит, что мы описываем объект функцией, которая задает тангенс угла наклона границы в зависимости от длины дуги. Формальным определением новой функции 9(s) служит выражение

При этом, однако, возникает новая трудность: функция Ѳ (s) непериодическая, поскольку 6(s+L)=6(s)+2n. Нетрудно, однако, пока-

зать, что функция Ѳ (s)—2ns/L периодическая с периодом L, и поэтому ее можно разложить в ряд Фурье. Мы можем записать еще одну модификацию нашей функции. Заметим, что среднее значение величины 0(s)—2nsjL зависит от выбора начальной точки границы. Следовательно, естественно ликвидировать эту зависимость вычитанием среднего. В соответствии с этим мы определим угловую естественную функцию 0(s) выражением

где

Эффект от аппроксимации угловой естественной функции усеченным рядом Фурье иллюстрируется рис. 9.26, а—9.26, г *). На рис. 9.26, а показан набор из пяти цифр. На рис. 9.26, б — 9.26, г показаны границы, полученные после аппроксимации угловой естественной функции посредством соответственно 5, 10 и 15 членов ряда Фурье. Ясно, что для описания границ с приемлемой точностью достаточно даже небольшого числа членов ряда.