9.3.6.2, Аппроксимация посредством моментов

Пусть дана произвольная функция интенсивности g{x, у)\ тогда момент тр^ порядка (р, q) функции g определяется формулой

(Поскольку мы определили моменты для произвольных функций интенсивности, то все последующее тем более справедливо для характеристической функции объекта.) Если функция интенсивности g является достаточно «хорошей» с математической точки зрения, что справедливо для всех физически реализуемых функций интенсивности, то множество моментов тр^ обладает свойством фундаментальной важности: моменты определяют единственным образом функцию интенсивности g и единственным образом определяются ею. Таким образом, двойной ряд моментов дает полное описание объекта, а частичное описание объекта можно получить, используя некоторое подмножество моментов.

Читатель может теперь заподозрить, что множество моментов состоит из коэффициентов разложения в ряд некоторого полного описа-

ния объекта. Это и в самом деле так. Определим порождающую моменты функцию М. (ы, ѵ) для некоторой функции интенсивности g(x, у) с помощью формулы

Заметим, что это определение напоминает определение спектра Фурье функции g. Наше допущение, что функция g «хорошая», позволяет разложить порождакіщую моменты функцию в степенной ряд следующим образом:

Мы утверждаем, что коэффициенты a^,^ представляют собой в точности моменты функции g. Чтобы убедиться в этом, оценим частную производную разложения в ряд порядка (р, q) в точке (О, 0) и получим

С другой стороны, из определения порождающей моменты функции частная производная функции М порядка (р, q) равна

и поэтому

Порождающая моменты функция играет заметную роль в статистике, где функция g{x, у) интерпретируется как функция плотности распределения. Заметим, что в нашем случае момент нулевого порядка /Иоо представляет собой просто объем, заключенный под поверхностью g{x, у). Поскольку мы интерпретируем g как характеристическую функцию объекта, величина /Иоо представляет собой его площадь. В статистике два момента первого порядка т^ и /Поі являются средними значениями функции плотности вероятности по осям X и Y. Приблизительно то же справедливо и для нашего случая. Деление величин и /Иоі на moo нормирует их по отношению к площади объекта и дает координаты X и К его центра тяжести.

Родственное множество моментов составляют центральные моменты функции g(x, у), определяемые формулой

Этот вариант сводится к изменению системы координат таким образом, чтобы оси X и Y пересекались в центре тяжести объекта. Очевидно, что первые центральные моменты объекта Цю и Цоі равны нулю. Вторые моменты Цго, Fioz и цц представляют собой моменты инерции и аналогичны дисперсиям и ковариации функции распределения для двух переменных. Собственные векторы матрицы вторых центральных моментов задают направления, относительно которых объект имеет максимальный и минимальный моменты инерции. Собственные значения суть главные моменты, отношение которых описывает в некотором смысле толщину или тонкость объекта.

Глядя со стороны, мы можем интерпретировать метод моментов как своего рода уловку для осуществления того, чего нельзя осуществить простым разложением в ряд Тейлора характеристической функции объекта. Разложение в ряд Тейлора здесь «не работает» потому, что характеристическая функция множества «плохая»: она претерпевает разрыв непрерывности всюду вдоль границы множества. Однако функция с разрывами непрерывности, грубо говоря, имеет гладкий спектр Фурье, который представляет собой «хорошую» функцию и может быть разложен в степенной ряд. Порождающая моменты функция играет роль аналога спектра Фурье и позволяет-нам получать описание объекта нужной информативности, отбирая все большее число коэффициентов разложения.

Теперь было бы поучительно обобщить исследованные нами способы описания объекта. Мы рассмотрели по крайней мере четыре различных метода получения полного описания: сам объект (т. е. как математический элемент характеристическую функцию объекта), спектр Фурье объекта (или функции интенсивности), скелетную пару объекта и его порождающую моменты функцию. Как правило, не особенно полезно просто заменять одно полное описание другим. В конечном счете информация в них одна и та же, а в видоизмененной форме она часто воспринимается с большим трудом, чем в форме исходного объекта. Ценность преобразования одной формы описания в другую заключается прежде всего в том, что для другой формы некоторые операции упрощения могут оказаться особенно естественными или легко реализуемыми. Лучшим примером, возможно, служит преобразование Фурье, с помощью которого элегантную интерпретацию получают такие действия, как фильтрация и сравнение с эталоном. В случае скелетной пары для упрощения скелета можно естественным образом использовать функцию гашения.

Однако, что касается способовописания, для которых геометрическая интуиция и прозрение наталкиваются на большие трудности, то они, как правило, оказываются менее полезными в анализе сцен,