10.3.1. ПРЯМОЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Математические соотношения для перспективных преобразований могут быть записаны в другой полезной форме, если мы сначала займемся вопросом представления векторов в однородных координатах. Основная идея заключается в том, чтобы превратить нелинейные преобразования формул (1) и (2) в линейные в другой системе координат. Заметим, что преобразование (1) не может быть линейным, так как координата Y точки объекта появляется в знаменателе. Имея это в виду, определим однородные координаты ѵ точки ѵ= (х, у, гУ с помощью формулы ѵ= (wx, wy, wz, wY, где w — произвольная константа. Ясно, что действительные декартовы координаты точки ѵ могут быть получены из ее однородных координат путем деления каждой из первых трех компонент однородного вектора на четвертую компоненту. Однородные ;<оординаты, как можно видеть, являются искусственным приемом для выполнения операции деления ценой увеличения размерности пространства на единицу. Заметим, что однородные векторы, различающиеся только масштабным множителем, представляют одну и ту же физи-

ческую точку. Таким образом, оба однородных вектора ѵ= {wx, wy, wz, wYn k\= (kwx, kwy, kwz, kwY представляют одну и ту же физическую точку ѵ= {х, у, z)^ Чтобы-'обозначать представление произвольного вектора в однородных координатах, мы будем всегда использовать тильду (-^).

Выше мы предположили, что прямое перспективное преобразование, заданное формулами (1), является линейным, когда оно записано в однородных координатах. Теперь мы утверждаем, что при соответствующей интерпретации матрица

является действительно линейным преобразованием, которое переводит точку объекта (записанную в однородных координатах) в точку изображения (также записанную в однородных координатах); другими словами, мы утверждаем, что Ѵр=Рѵ. Чтобы проверить правильность этого утверждения, выполним указанные вычисления. Мы получим, что для данной точки объекта \={wx, wy, wz, wY соответствующая точка изображения (в однородных координатах) определяется формулой

Разделив каждую из первых трех компонент на четвертую, получаем декартовы координаты точки изображения в следующем виде:

Заметим, что вторая компонента в формуле (5) не равна нулю во всех случаях, когда не равна нулю компонента У точки объекта, и это не согласуется с физической реальностью, отображенной на рис. 10.2. Мы вскоре увидим, что вторая компонента точки изображения в математическом плане является свободной переменной в обратном перспективном преобразовании. В данный момент мы отло-

жим обсуждение роли второй компоненты и подчеркнем, что первая и третья компоненты в формуле (5) согласуются с результатами, полученными из подобия треугольников в выражении (1).