10.4.2. ОБРАТНОЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ: ДВЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

В общем случае обратное перспективное преобразование в однородных координатах может быть получено особенно легко из прямого преобразования (17). Так как каждая из четырех матриц имеет обратную,

Легко убедиться, что G

и

(2^

Как мы это-уже делали для прямого преобразования, полезно оценить выражение (І^ и перевести результат в обычные декартовы коордираты путем деления каждой из первых трех компонент ѵ на четвертую. Kajs обычно, пусть Ѵр— (wXp, wy'p, wz'p, wY, где y'p— свободный параметр. После утомительных вычислений мы получим точ-

ку V объекта в следующем виде:

Здесь снова обратное преобразование может быть переведено в более удобную форму посредством представления точки ѵ объекта в виде

причем центр объектива ѵ, можно найти, устремив Ур к—оо в формуле (23), а точку Ѵр изображения (представленную в глобальных координатах) можно найти при y'p=G. Оценив формулу (23) для этих значений, найдем

и

Комбинируя формулы (10), (24) и (25), придем к нашему конечному выражению, задавая проектирующий луч для точки изображения {Хр, Zp), для свободного неотрицательного параметра X и для всех геометрических параметров камеры:

Перечислим результаты этого раздела. Мы обобщили простую проективную модель на случай с двумя системами координат таким образом, что все величины могут теперь быть измерены естественным путем. Формулы (17) и (19) задают прямое и обратное перспективные преобразования в однородных координатах, где однородные координаты точки изображения и точки объекта связаны соответственно с декартовыми координатами изображения и с декартовыми глобальными координатами. Формулы (18) и (26) задают преобразования непосредственно в декартовой системе координат изображения и в декартовой глобальной системе координат. В следующем разделе мы проиллюстрируем эти результаты, применяя их во многих различных ситуациях.