10.5.4. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ЛИНИИ И ТОЧКИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СХОДА

В качестве последнего примера использования перспективных преобразований исследуем некоторые свойства изображения горизонтальной линии. Для простоты мы будем рассматривать изображение линии объекта, лежащей на плоскости пола глобальной системы координат. Любая точка объекта ѵ= (х, у, г)^ лежащая на такой линии, имеет бид (х, тх+ Ь, 0)^ т и Ь — соответственно наклон линии и длина отрезка, отсекаемого этой линией на координатной оси F. Так как мы хотим снять изображение объекта, расположенного на полу, лучше, чтобы камера была поднята над полом и, может быть, направлена вниз. В соответствии'с этим мы возьмем геомеі;рические параметры камеры в виде лго=г/о=^і=^2=/з—9=0, и пусть величина Zo будет положительной, а ф — отрицательной. Для этих параметров прямое преобразование (18) упрощается следующим образом:

После подстановки (х, тх+Ь, 0)* в формулы (29) и исключения свободного параметра х из двух уравнений мы получим уравнение прямой линии на плоскости изображения

Не существует никаких особенно простых свойств ни у наклона этой линии изображения, ни у точек ее пересечения с координатными осями; рассмотрим, однако, пересечение этой линии изображения с линией горизонта данной картинки. Линия горизонта любого изображения определяется как пересечение плоскости изображения с плоскостью, проходящей через центр объектива параллельно полу. Как показано на боковой проекции рис. 10.5, уравнение линии горизонта (в координатах изображения) имеет вид z'=—/tgф. Очевидно, что координата X' точки пересечения линии изображения (30) с линией горизонта определяется приравниванием выражения (30) величине — /(tg ф). Решив полученное уравне-

ние относительно координаты точки пифесечения с горизонтом х^, находим, что

Этот результат можно было бы также получить посредством подстановки (;іс, тх+Ь, 0) в первое, ураві^нйе выражения (29) и перехода к пределу при х, стремящаяся к бесконечности. Следовательно, точка пересечения с горизонтом вполне заслуженно называется точкой горизонтального схода или точкой схода с горизонтом йзо<Іра- жения данной линии; это предел, к которому стремится точка изоб ражения в то время, как точка объекта удаляется в бесконечность вдоль прямой линии у—тх+Ь.

Мы можем сделать ряд интересных замечаний по поводу выражения (31). Во-первых, заметим, что точка схода не зависит от высоты го камеры над плоскостью, содержащей линию объекта. Во-вторых, точка схода не зависит от параметра переноса Ь в уравнении линии объекта. Следовательно» мы можем сдфіать важный вывод, что любые две яинйи, параллельные плоскости пола, им^т одну и ту же точку схода в том и только том случае, если они параллельны друг другу. И нако»ец, предположим, что у нас есть две ортогональные ЛИНИЙ объекта, лежащие на плоскости, параллельной полу. Пусть их наклоны будут ті и тг, а их точки схода с горизонтом йліеют координаты и лг^. Поскольку эти линии ортогональны, /Пі/Яа=—1. Следовательно, непосредствеино из формулы (31) мы получаем

Две точки схода хі и х'^ иногда называют сопряженными точками схода >). Так как их произведение — отрицательная величина, они всегда лежат по разные стороны от центральной линии изображения, как показано на рис. 10.4. Сопряженные точки схода являются примером того, каким образом заданное ограничение на объекты (а именно ортогональность) мсвкет быть преобразовано в простое ограничение на изображения.