11.4. ЛИНИЯ, СОЕДИНЯЮЩАЯ ОБЪЕКТИВЫ

В предыдущем разделе мы показали, что для случая двумерных объектов проективные координаты действительно являются проективными инвариантами; было продемонстрировано, что проективные координаты каждого изображения объекта равны проективным координатам самого объекта. На практике мы обычно можем использовать и менее элегантные результаты. Так, например, часто имеются два изображения, и нужно просто решить задачу второго ракурса относительно этих двух конкретных картинок. Поэтому для нас нет необходимости искать признаки, которые были бы общими одновременно для всех возможных изображений, а вполне достаточно общих признаков этих двух изображений. Мы будем называть такие признаки квазипроективными и посвятим им наше внимание до конца этой главы. Чтобы прояснить различие между проективными и квазипроективными признаками, предположим, что у нас есть три изображения, скажем А, В н С, и мы хотим определить, возможен ли такой случай, что они все отображают один и тот же объект. Если бы мы могли использовать настоящий проективный признак, подобный проективным координатам, мы бы просто вычислили этот признак для всех трех изображений и сравнили соответствующие числа. С другой стороны, если бы мы должны были использовать квазипроективный признак, нам следовало бы вычислить значение этого признака для пар изображений и проверить, например, показывают ли Ач В один и тот же объект и точно так же показывают ли 5 и С один и тот же объект. Взамен такой потери элегантности мы получаем существенную выгоду; у нас появляется

возможность описывать квазипроективные методы, которые либо совсем не связаны со специальными ограничениями (такими, как двумерность объектов), либо в худшем случае связаны с достаточно слабыми ограничениями.

Первый квазипроективный признак, который мы хотим обсудить, основан на важном свойстве линии, соединяющей центры объективов двух заданных камер. Чертеж для общего случая показан на

рис. П.8, где Li и La — центры объективов двух камер, Пі и Па— соответствующие им плоскости изображений, а Рі и Р^,— соответствующие изображения произвольной точки объекта Р, лежащей где-то в трехмерном пространстве. Как видно на рисунке, буквами Сі и Са обозначены точки, где соединяющая объективы линия прокалывает соответствующие плоскости изображений. Для простоты мы бу^іем считать, что плоскости изображений не параллельны. Мы утверждаем, что линия PjCi пересекает линию где-то на XZ — линии пересечения двух плоскостей изображений. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание на треугольную плоскость PLiL^- Ясно, что отрезок РіСі лежит в этой плоскости, так же как и Р^Сг', следовательно, эти прямые либо пересекаются, либо параллельны. Кроме того, отрезки Р^Сі и Р^С^ лежат также в соответствующих им плоскостях изображений. Если эти плоскости изображений параллельны, то параллельны и прямые; поскольку мы приняли обратное, линии пересекаются и, более того, пересекаются где-то на линии пересечения плоскостей изображений. Итак, мы показали, что точки прокола соединяющей объективы линии обладают специаль-

ным свойством: прямые, проведенные от соответственных точек изображений через соответствующие тОчки прокола, пересекаются на линии пересечения плоскостей изображений.

Рассмотрим теперь ситуацию, в которой у нас есть четыре точки объекта: Р, Q, и S, и соответствующие им изображения Ри Qt, Ri и Si, i= 1,2. Мы можем снова построить точки Сі и Са, где соединяющая объективы линия прокалывает плоскости изображений.

Такой случай показан на рис. 11.9, где мы для ясности исключили точки объекта, центры объективов и соединяющую их линию. Как мы только что видели, прямые, проведенные от соответственных точек изображений через соответствующие точки прокола, должны пересекаться на линии XZ, как показано на рисунке. Таким образом, у нас есть два пучка Сі и из четырех линий каждый, пересечением которых является общий ряд P'Q'R'S' из четырех точек. Следовательно, сложные отношения этих двух пучков должны быть равными. Тогда мы получим важный квазипроективный признак: если даны два изображения одного и того же объекта, то в каждом существует точка, а именно точка прокола соединяющей объективы линией, такая, что сложные отношения соответственных пучков с центрами в этих точках равны. (Хотя мы этого не доказывали, данный квазипроективный признак имеет место и тогда, когда две плоскости изображений параллельны. Однако, если соединяющая объективы линия параллельна какой-либо из плоскостей изображений (или обеим сразу), точка прокола (или точки) уходит в бесконеч-

ность, и метод теряет привлекательность по чисто вычислительным соображениям.) Заметим, кстати, что квазипроективная природа этого признака существенно связана с его происхождением, поскольку мы используем соединяющую объективы линию, определяемую двумя камерами.

Рассмотрим кратко, как можно использовать на практике признак, основанный на соединяющей объективы линии. Примем сначала, что нам известны относительные положения двух камер в момент съемки соответствующих изображений. В этом случае можно прямо вычислить точки прокола соединяющей объективы линии и на этой основе подсчитать сложные отношения, определяемые множествами из четырех соответственных точек изображений. В то же время, однако, если относительные положения камер известны, мы можем выполнить обычный стереоскопический расчет и проверить, пересекаются ли лучи, проходящие от объективов через соответственные точки изображений. С другой стороны, предположим, что относительные положения камер заранее не известны. Тогда мы можем, по крайней мере в принципе, организовать поиск на каждой плоскости изображения с целью найти такие точки Сі и Сг, чтобы соответственные пучки линий с центрами в этих точках имели одинаково сложное отношение. Если такие точки можно найти, необходимое условие того, что два изображения показывают один и тот же объект, выполнено; в противном случае оно не выполнено. Заметим, однако, что, если мы организуем поиск, в нашем распоряжении должно быть больше четырех точек изображения на одну картинку. Очевидно, что поиск фактически выполняется в четырехмерном пространстве, поскольку у каждой из двух отыскиваемых точек прокола имеются две координаты. Таким образом, у нас должна быть возможность образовать по крайней мере четыре независимых сложных отношения для каждой картинки с тем, чтобы избежать вырожденных решений.

Ради определенности будем рассматривать задачу второго ракурса, используя описанный выше метод, как задачу поиска в четырехмерном пространстве. Примем для начала, что у нас есть две картинки, на каждой из которых имеется «соответственных точек, скажем Р}, . . ., Р?, і'—1, 2. Для г'-го изображения и для любого заданного центра пучка С; мы всегда можем построить п—3 независимых пучков по четыре линии в каждом; нам только нужно убедиться в том, что каждое подмножество из четырех точек изображения, определяющее данный пучок, содержит по крайней мере одну точку изображения, не входящую ни в какое другое подмножество. Таким образом, мы всегда можем построить по крайней мере п—3 независимых сложных отношений. Обозначим п—3 сложных отношений і-й картинки через R}, . . ., R?~s. Очевидно, что все сложные отношения і-й картинки являются функциями Сг— вектора, координаты которого задают центр пучка. Тогда в идеальном случае, если два

изображения действительно показывают один и тот же объект, на каждом из них существует точка, скажем С-, такая, что

для всех /=1, . . ., rt—3. На практике этот случай встречается редко. Вместо этого мы ожидаем, что соответственные сложные отношения будут равны лишь приближенно. В связи с этим мы можем свести задачу поиска к минимизации формы такого вида:

Если найдены, скажем, посредством поиска по градиенту такие значения СІ и СІ, при которых величина суммы становится приемлемо малой, то мы решаем, что необходимые условия того, что два изображения показывают один и тот же объект, выполняются; в противном случае это не так. Таким образом, задача второго ракурса преобразована в задачу минимизации по градиенту, за которой следует процесс принятия решения.