2.8.2. СЛУЧАЙ 2: 2,-=2

В другом простом случае ковариационные матрицы для всех классов одинаковы. Геометрически это соответствует ситуации, при которой выборки попадают внутрь гиперэллипсоидальных областей (кластеров) одинаковых размеров и формы, с вектором средних значений в центре каждой. Не зависящими от і слагаемыми |2г| и (d/2)log 2п в соотношении (31) можно пренебречь. В результате получаем разделяющие функции вида

Если априорные вероятности Р(а>і) для всех с классов равны, то слагаемым logP (сог) можно пренебречь. Оптимальное решающее правило в этом случае снова оказывается очень простым: для классификации вектора признаков следует определить квадратичное махаланобисово расстояние (х—(і^Е-^х—рг) от х до каждого из с векторов средних значений и отнести х к классу, соответствующему ближайшему среднему значению х). Как и прежде, в случае неравных априорных вероятностей, при принятии решения несколько большее предпочтение отдается классу, априорно более вероятному.

При раскрытии квадратичной формы (х—рг) обнаруживается, что квадратичное слагаемое х*2-‘х не зависит от і. Исключая его, снова получим линейные разделяющие функции вида

где

и

Так как разделяющие функции линейны, границы областей решений в этом случае становятся гиперплоскостями (рис. 2.9). Для смежных cRi и сR/ граница между ними описывается уравнением

где

и

Так как направление вектора w=2-1 (|uif—р7) в общем случае не совпадает с направлением р.*—р;-, то гиперплоскость, разделяющая сЯі и Slj, вообще говоря, не ортогональна отрезку, соединяющему средние значения. Вместе с тем в случае равных априорных вероятностей она пересекает этот отрезок в точке х0, находящейся посередине между средними значениями. При неравных априорных вероятностях граничная гиперплоскость смещается, удаляясь от более вероятного среднего значения.