2.8.3. СЛУЧАЙ 3: ПРОИЗВОЛЬНЫЕ 2,

В общем случае многомерного нормального распределения ковариационные матрицы для каждого класса различны. В выражении (31) можно пренебречь только слагаемым (d/2)log 2л, так что получаемые разделяющие функции оказываются существенно квадратичными:

где

Границы областей решений представляют собой гиперквадрики и могут принимать любую из общих форм — гиперплоскостей,

гиперсфер, гиперэллипсоидов, гиперпараболоидов или разного вида гипергиперболоидов. То, каким образом могут возникнуть эти различные виды гиперквадрик, изображено для двумерного случая

на рис. 2.10. Так как переменные хи х2 независимы для фиксированного класса, их ковариационные матрицы диагональны. Поверхности решений различаются исключительно из-за различия между дисперсиями. Сами дисперсии обозначены пронумерованными контурами постоянной плотности вероятности. На рис. 2.10 (а) дисперсии для р(х|со2) меньше, чем для р(х[оіх). Поэтому более вероятно, что выборки, принадлежащие классу 2, окажутся вблизи среднего значения для этого класса, а из-за центральной симметрии граница решения образует окружность, внутри которой лежит Ра. При растяжении оси х2, как показано на рис. 2.10 (б), граница решения вытягивается в эллипс. Рис. 2.10 (в) иллюстрирует случай, когда обе плотности имеют одинаковые дисперсии в направлении хи но в направлении х2 дисперсия для р(\ |(йі) больше, чем для р(х|соа). Таким образом, выборки с большим х2, вероятнее, принадлежат классу 1, а граница решения представляет собой параболу. С ростом Хі дисперсия для р (х|со2) меняется как на рис. 2.10 (г) и граница превращается в гиперболу. Наконец, сісобый случай симметрии, когда гиперболическая граница вырождается в пару прямых, приведен на рис. 2.10 (д).