3.2.2. СЛУЧАЙ МНОГОМЕРНОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: НЕИЗВЕСТНО СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

Для иллюстрации применения полученных результатов к конкретному случаю предположим, что выборки производятся из нормально распределенной совокупности со средним значением ц и ковариационной матрицей 2. Для простоты сначала рассмотрим случай, когда неизвестно только среднее значение. Тогда

и

Если отождествить Ѳ и ц, то из уравнения (5) увидим, что оценка по максимуму правдоподобия для (и должна удовлетворять уравнению

После умножения на S и преобразования получим

Этот результат весьма убедителен. Он свидетельствует о том, что оценка по максимуму правдоподобия при неизвестном среднем по совокупности в точности равна среднему арифметическому выборок — выборочному среднему. Если представить п выборок геометрически в виде облака точек, то выборочное среднее будет центром этого облака. Помимо всего, выборочное среднее имеет ряд достоинств с точки зрения статистических свойств, в связи с чем эта

весьма наглядная оценка часто оказывается предпочтительнее, не говоря уже о том, что она представляет максимально правдоподобное решение.