3.2.3. ОБЩИЙ МНОГОМЕРНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ

В общем и более типичном многомерном нормальном случае неизвестны как среднее ц, так и ковариационная матрица S. Как раз эти неизвестные параметры и образуют компоненты параметрического вектора Ѳ. Рассмотрим одномерный случай, приняв Ѳі=и и Ѳа=о®. Здесь имеем

и

Тогда уравнение (5) приводит к следующим условиям:

и

где Ѳі и §3 — оценки по максимуму правдоподобия соответственно для Ѳі и Ѳа. После подстановки ц=ѲІ, о?=Ѳг и несложных преобразований получим следующие оценки по максимуму правдоподобия для J1 и а^:

Хотя анализ многомерного случая в основном носит аналогичный характер, он значительно более трудоемок. Из литературы *) хорошо известно, что оценка по максимуму правдоподобия для fi

й S дается выражениями и

Таким образом, еще раз подтверждается, что оценка по максимуму правдоподобия для среднего значения вектора — это выборочное среднее. Оценка по максимуму правдоподобия для ковариационной матрицы — это среднее арифметическое п матриц (xft—fi) (Xft—|іі)‘. Так как подлинная ковариационная матрица и есть ожидаемое значение матрицы (х—|и)(х—(и)*, то полученный результат также весьма естествен.