3.3.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ

Хотя требуемая плотность р{\) неизвестна, предположим, что она имеет известную параметрическую форму. Единственно, что предполагается неизвестным, это величина параметрического вектора Ѳ. Тот факт, что р{\) неизвестна, но имеет известный параметрический вид, выразим утверждением, что функция /?(х|Ѳ) полностью известна. При байесовском подходе предполагается, что неизвестный параметрический вектор есть случайная переменная. Всю информацию о Ѳ до наблюдения выборок дает известная априорная плотность р{Ѳ). Наблюдение выборок превращает ее в апостериорную плотность р{Ѳ\3^), которая, как можно надеяться, имеет крутой подъем вблизи истинного значения Ѳ.

Основная наша цель — это вычисление плотности р{х\3!^), достаточно достоверной для того, чтобы прийти к получению неизвестной р{\). Это вычисление мы выполняем посредством интегрирования объединенной плотности /?(х, ѲІ»?*) по Ѳ. Получаем

причем интегрирование производится по всему пространству параметра ‘). Теперь р(х, ѲІ.2^) всегда можно представить как произведение р(х|Ѳ, Так как х и вы^рки из получаются независимо, то первый множитель есть просто р(х|Ѳ). Распределение величины X, таким образом, полностью известно, если известна величина параметрического вектора. В результате имеем

Это важнейшее уравнение связывает «условную по классу» плотность р (xj.2^) с апостериорной плотностью р (Ѳ \^) неизвестного параметрического вектора. Если вблизи некоторого значения Ѳ функция р(Ѳ|.2^) имеет острый пик, то р(х|.2;*)«р(хІѲ), так что решение может быть получено подстановкой оценки Ѳ, в качестве истинной величины вектора параметров. Вообще, если существует большая

неопределенность относительно точного значения Ѳ, это уравнение приводит к средней плотности р(х|Ѳ) по возможным значениям Ѳ. Таким образом, в случае, когда неизвестные плотности имеют известный параметрический вид, выборки влияют на р(х|^) через апостериорную плотность р(Ѳ|І^).