3.4.3. СЛУЧАЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Исследовать случай многих переменных можно, непосредственно обобщив случай с одной переменной. Поэтому мы ограничимся лишь беглым наброском относящихся к нему доказательств. Как и прежде, положим, что

и

где 2, 2о и ро предполагаются известными. После того как получено множество содержащее п независимых выборок Хі, . . ., х„, можно применить байесовское правило и получить выражение

которое представим в виде

Таким образом, 2„), и мы снова получили вос

производящую плотность. Приравнивая коэффициенты, получим уравнения, аналогичные (20) и (21):

и

где т„ есть выборочное среднее

Решение этих уравнений относительно и 2„ можно облегчить, если принять во внимание матричное тождество

справедливое для двух любых невырожденных матриц Л и В размера dxd. После несложных преобразований приходим к окончательному результату:

и

Для доказательства того, что p{x\St^)'^N {ц„, 2+Е„), надо, как и прежде, произвести интегрирование

Вместе с тем к тому же результату можно прийти с меньшими затратами, если принять во внимание, что х можно рассматривать как сумму двух случайных переменных — случайного вектора р, такого, что p{\ji\S)'^N {\і„, 2„), и независимого случайного вектора у, такого, что р(у)~Л^(0, Е). В связи с тем что сумма двух независимых нормально распределенных векторов есть также нормально распределенный вектор со средним значением, равным сумме средних значений, и ковариационной матрицей, равной сумме ковариационных матриц, получим

что и завершает наше обобщение.