4.3.3. СХОДИМОСТЬ ДИСПЕРСИИ

Уравнение (20) показывает, что для того, чтобы заставить р„{\) устремиться к р{\), не нужно иметь бесконечное число выборок; при любом п достаточно только устремить к нулю. Конечно, для конкретного множества п выборок получающаяся оценка, имеющая всплески, будет бесполезной. Этот факт подчеркивает необходимость рассмотрения дисперсии оценки. Поскольку р„(х) является суммой функций статистически независимых случайных величин, ее дисперсия является суммой дисперсий отдельных членов, и отсюда имеем

Опуская второй член, ограничивающий ф, и используя (20), получаем

Ясно, что для получения небольшой дисперсии нам нужно большое, а не малое значение Ѵ„. Однако, поскольку числитель остается конечным при стремлении п к бесконечности, мы можем позволить Ѵп стремиться к нулю и все же получать нулевую дисперсию при условии, что пѴп стремится к бесконечности. Например, мы можем взять Vn^yJVti, или Vi/log п, или любую другую функцию, удовлетворяющую соотношениям (18) и (19).

Это основной теоретический вывод. Но, к сожалению, он ничего не говорит о том, как выбирать ф и Ѵ„, чтобы получить хорошие ре-

зѵльтаты в случае с конечным числом выборок. Действительно, если у нас не будет другой информации о р(х), помимо той, что она непрерывна, у нас не будет никакого основания для оптимизации результатов при конечном числе выборок.