4.9.2. РАЗЛОЖЕНИЕ БАХАДУРА - ЛАЗАРСФЕЛЬДА

Другое интересное разложение получают введением нормированных величин

считая, конечно, что Рі не является ни нулем, ни единицей. Эти нормированные переменные имеют нулевое среднее и дисперсию, равную единице. Множество полиномов, похожих на полиномы Радемахера — Уолша, можно получить, систематически образуя различные произведения сомножителей уі в следующем порядке: ни одного сомножителя, один сомножитель, два и т. д. Так что имеем

Эти полиномы не ортогональны сами по себе, но они ортогональны, если ввести весовую функцию

т. е.

Это следует из того, что Рі(х) является распределением для случая с независимыми переменными и что в этом случае моменты £[г|)г(х)%(х)1 являются или нулем, или единицей. Следовательно, любую функцию, определенную на единичном d-кубе, можно разложить как

где

В частности, функцию Р(х)/Рі(х) можно представить в виде  где

Вспомнив, что грг (х) есть произведение нормированных переменных Уі = {Хі—рі)І —pi), видим, что йі—это коэффициенты корреляции. Очевидно, что ао=1 и аі=. . .а^=0. Если определить

то можно представить соотношение (55) как

Оно известно как разложение Бахадура — Лазарсфельда Р(х). В нем содержится 2‘^—\ коэффициентов, d вероятностей рі первого

порядка, ^ 2 ) коэффициентов корреляции pij второго порядка, ^ g

коэффициентов корреляции третьего порядка и т. д. Естественный способ аппроксимировать Р (х) — это игнорировать все корреляции свыше определенного порядка. Таким образом,

есть аппроксимация первого порядка Р(х),

есть аппроксимация второго порядка и т. д. Если коэффициенты корреляции высокого порядка невелики и мы используем аппроксимацию log (І+х)»^, то видим, что log Рі(х) линейный относительно X, logPaW добавляет квадратичный член корреляции и т. д. Таким образом, логарифм разложения Бахадура — Лазарсфельда дает интересную последовательность аппроксимаций. Первая аппроксимация эквивалентна допущению независимости, и она линейна относительно х. Вторая отвечает корреляции второго порядка и квадратична относительно X. Каждая последующая аппроксимация отвечает корреляциям более высокого порядка, но, конечно, требует вычисления большего количества членов.