2.5.  Фракталы

Все интеллектуальные ИС строятся на некой общей основе. Существует особый архитектурный каркас, некий строительный блок, для параметрических интеллектуальных ИС. Он затем достраивается, входит в сложные конгломераты конечным числом способов по нескольким определенным алгоритмам. Сложные интеллектуальные ИС имеют фрактальное строение из универсальных строительных блоков, которые повторяются в различных масштабах.

Итак, интеллектуальная ИС имеет внутренние предпочтения к определенным формам. Другие формы неустойчивы и очень быстро эволюционируют к устойчивым формам. Результаты синергетики возвращают нас к идеям древних учений о потенциальном и направленном. На упрощенных математических моделях в виде графов и гиперграфов можно видеть все поле возможных путей эволюции, все возможные пути развития данной интеллектуальной ИС. Интеллектуальные ИС имеют множество путей эволюции. Отсюда разнообразие форм. Однако реализуется одна из форм. Строительство на основе строительных блоков по образцу — это матричное дублирование. Путь отбора через хаос — это медленный путь эволюции, путь случайных вариаций и эволюционного отбора, постепенного перехода от простых интеллектуальных ИС к все более сложным. Универсальные строительные блоки имеют фрактальное строение и повторяются в различных масштабах.

В 1980 году Б. Мандельброт указал на фрактальную геометрию ЕС. Установлено, что фракталы выполняют роль информаторов, сигнализирующих о состоянии неустойчивости системы. Информационные свойства фракталов близки к свойствам живой клетки. Они инвариантны к анализируемому объекту, способны к самоподобному размножению на различных пространственно-временных уровнях и передаче информации системе о нарушении устойчивости своего структурного состояния; обладают

свойствами адаптации к внешнему воздействию путем самоперестройки фрактального множества в точках неустойчивости структуры системы. Для интеллектуальных ИС самоподобие структур, являющееся определяющим свойством фрактального множества, реализуется лишь в ограниченных масштабах. Тогда говорят о мультифракталах как о фрактальном множестве, содержащем фрактальные подмножества, связанные степенным законом. Они характеризуются не только размерностью, но и степенью однородности рассматриваемого множества. Для этого вводится вероятностная размерность фрактального множества.

Для моделирования самоорганизации интеллектуальных ИС типа фрактального множества перспективно использовать принцип подчинения, когда при переходе интеллектуальной ИС через точку бифуркации множество переменных подчиняется одной или нескольким переменным, называемым параметром порядка. Согласно [84-87], эволюционирующие системы имеют фрактальную природу, направленный нестихийный отбор и самосогласованную эволюцию.

Фрактальные объекты самоподобны, то есть, их вид не претерпевает существенных изменений при изменении масштабов их деятельности. Множества, имеющие такую структуру, считаются обладающими геометрической (масштабной) универсальностью. Преобразования, создающие такие структуры, — это процессы с обратной связью с большим числом итераций, когда одна и та же операция выполняется снова и снова. Здесь результат одной итерации является начальным условием для другой и требуется нелинейная зависимость между результатом и реальным значением, т. е. динамический закон Xk+i = f(xk). На рисунке 2.14 приведена схема реализации этого процесса.

Такой процесс аналогичен идеям Н. Винера о системах с обратной связью и идеям эволюции [14, 15]. Здесь входной параметр может быть постоянным, а может коррелировать с внешней средой. Результатом работы такого блока будет выходная последовательность х\, х2і..., хп. Отметим, что здесь существует нелинейная зависимость между результатом и начальными условиями.

К фрактальным множествам относят множество Кантора и ковер Сер- пинского [11, 84-87]. Они обладают геометрической инвариантностью и называются «множества средних третей».

Простейший вариант множества Кантора строится следующим образом. Рассмотрим отрезок единичной длины [0,1] на вещественной оси.

Он делится на три равные части и средняя из них — открытый интервал (1/3, 2/3) вырезается (рис. 2.15). Далее все происходит аналогично с каждым оставшимся из отрезков. Получаем последовательность отрезков все убывающей длины. На первом этапе — это один отрезок, на втором — два, на третьем — 4 и т. д., на к-ш — 2к. При к оо имеем множество точек, называемое множеством Кантора. Суммарная длина всех вырезанных отрезков равна 1.

Обобщение множества Кантора средних третей на случай плоских фигур приводит к ковру Серпинскош. Например, возьмем квадратную матрицу и разделим ее на девять равных квадратов. При первой итерации удаляем центральный квадрат, аналогично поступим с каждым из оставшихся восьми квадратов и т. д. Пересечение полученных при к оо множеств — это ковер Серпинскош [11]. Множество Кантора является фракталом. Для фракталов введено понятие фрактальной размерности. Для множества Кантора, которое состоит из N = 2п, разделенных интервалов длиной е = = (1/3)п, фрактальная размерность равна:

Для ковра Серпинскош имеем фрактальную размерность « 1,893.

Примером фрактального объекта может быть схема снежинки. Если взять равносторонний треугольник и разделить каждую из его сторон на три части и по каждой из трех центральных третей построить по равностороннему треугольнику меньших размеров, то получим фрактальный объект, размерность которого есть фрактальная размерность «1,26. Такой фрактальный объект иногда называют кривой Коха [84]. Отметим, что на основе множества Кантора и ковра Серпинского можно получать любые строительные блоки в интеллектуальных ИС.

Основные формы кооперативного поведения, свойственные ЕС, имеют свои аналогии и среди ИС. Хаотические динамические системы чрезвычайно чувствительны к внешним воздействиям. Стабилизация хаотического поведения осуществляется двумя способами. Первый обеспечивает выведение системы из хаотического на регулярный режим посредством внешних воздействий, реализованных без обратных связей. Второй способ называется контролируемым хаосом с обратной связью. Создание интеллектуальных ИС на основе применения хаотических систем базируется на использовании внутренней структуры управления. Хаотические множества, как правило, содержат бесконечное подмножество неустойчивых предельных циклов. Фракталами, как отмечалось выше, обычно называют множества, которые обладают масштабной инвариантностью, т. е. в любом масштабе они выглядят практически одинаково. В частности, странные аттракторы могут обладать геометрической инвариантностью, т. е. подобно фрактальным множествам их структура повторяется при последовательном увеличении масштаба.

Существует механизм агрегации (DLA), описывающий создание фракталов. Согласно DLA, определенная разновидность фракталов может быть получена в процессе неупорядоченного роста. Например, задан кластер (объект с максимальным числом внутренних связей), растущий следующим образом: с течением времени к нему присоединяется молекула и сразу прилипает к нему. Этот процесс называется агрегацией. Пусть частицы диффундируют к растущему кластеру абсолютно случайным образом. Агрегация частиц, протекающая в условиях случайного движения, это и есть DLA [64-65].

Приведем один из возможных механизмов решения оптимизационной задачи на основе агрегации фракталов. Он основан на четырех принципах:

•    построение кластеров (массивов, определенным образом связанных между собой исследуемых объектов);

•    факторизации кластеров, т. е. уменьшение размерности задачи путем представления кластеров в виде новых объединенных кластеров;

•    DLA, т. е. агрегация, протекающая в условиях случайного, направленного и комбинированного присоединения элементов к кластерам;

•    использование отдельных и объединенных моделей эволюций Ч. Дарвина, Ж. Ламарка, де Фриза, К. Поппера и синтетической теории эволюции.

Таким образом, между принципами гомео статики, синергетики и эволюции много общего. Это как бы звенья одного общего эволюционного процесса развития ЕС и ИС. Общей концепцией интеллектуальных ИС может служить объединенное учение о гомеостазе, адаптации, самоорганизации, фракталах. Интеллектуальная ИС может определяться как регулирующая, адаптивная самообучающаяся система, проявляющая свойства гомео статичности и регулируемости.