1.1. МЕТОД ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть имеется матрица X, содержащая п строк (объектов) и т столбцов (признаков). Обозначим через

X' транспонированную матрицу и положим

 

Пусть

 

— матрица собственных векторов матрицы Я',

— диагональная матрица ее сооствеиных значений

 

 

Тогда

и

— единичная матрица. Пусть

 

 

 

 

 

Матрица и имеет те же размеры, что и X, однако се столбцы не коррелируют между собой. Дисперсии X/ столбцов матрицы V являются собственными значения­ми матрицы Я и диагональными элементами матри­цы А. Сами столбцы являются линейными комбинация­ми столбцов матрицы X с суммой квадратов коэффици-

2 в. М. Ефимов, 10. К. Галактионов, Н. Ф. Шушпаиова   5ентов, равной единице, и называются главными компонентами. Каждая компонента имеет дисперсию, максимально возможную из всех комбинаций, ортого­нальных предыдущим компонентам. Обработка матри­цы X методом главных компонент заключается в вычи­слении матриц II, ф и А. Программы вычисления соб­ственных векторов и собственных значений имеются в стандартном математическом обеспечении современ­ных ЭВМ [35].

Матрица К называется матрицей вторых или сме­шанных моментов. Если столбцы матрицы X центрированы

 

онной, а если и нормированы

то матрица называется ковариацито корреля ционной. Как правило, методу главных компонент предшествует центрирование и нормирование мат­рицы X.

 

Если поменять объекты и признаки местами, то по­лучим транспонированную матрицу X'. Ее также мож­но обрабатывать методом главных компонент. Пусть

— матрицы, полученные в результате такой

 

Тогда:

обработки, и

 а)   ненулевые собственные значения матриц Л и Л равны и их не более р;

б)    первые р столбцов нормированной матрицы V

совпадают с первыми р столбцами матрицы ср;

в)    первые р столбцов нормированной матрицы Ц совпадают с первыми р столбцахми матрицы ф.

Удобнее обрабатывать матрицу, у которой число столбцов меньше, чем число строк.