1.2. ОБРАБОТКА ОДНОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА

Пусть имеется последовательность ут, утуг наблюдений некоторого показателя у в равноотстоящие моменты времени Г, Т — 1, ..., 1. Выберем в качестве многомерной характеристики состояния процесса в момент времени  именуемый предысторией процесса за время К.

Параметр К называется лагом (запаздыванием). Сведем полученные векторы в матрицу, имеющую

6Т — К строк Iобъектов.! и К 1 столбец «признак):

 

 

Обработка полученной матрицы методом главных компонент (1.1) приводит к появлению повой матрицы тех ж© размеров. 1ювые признаки (компонент ы. явля­ются линейными комбинациями старых

 

 

 

 

 

 

и не коррелируют между сооои. Первая компонента имеет максимально возможную (А-0 или из всех ли­нейных комбинаций дисиорсию, вторая — максимально возможную или лц) из всех линейных комбинаций, ортогональных первой, и т. д.

Собст$енпые числа автокорреляционной матрицы (дисперсии компонент) обычно используются как пока­затели веса этой компоненты в исследуемом процессе ! 10, 17, 20]. Как нам кажется, для временных рядов этот вариант нельзя считать окончательным, и ниже мы изложим соответствующие соображения (1.6).

В терминах линейной фильтрации эта же процедура выглядит следующим образом. Исходный ряд раскла­дывается на ортогональные составляющие, полученные пропусканием ряда через на юр из К 1 линейного фильтра, в качестве которых выбираются собственные векторы (ас , ..., а/0) автоковарпационпой матрицы рассматриваемого ряда.

п ак кик получаемые компоненты в свою очередь являются повьши временными рядами, то их поведение можно исследовать как аналитически, например, мето­дами спектрального пли дискримииантного анализа или тех же главных компонент, так и графически в за­висимости от времени ил! любой другой компоненты [36—42], получая фазовые портреты. В последнем слу­чае каждый год представляется точкой на плоскости,

2*образованной соответствующей парой компонент, и годы соединяются последовательно.

В исследованиях по динамике численности живот­ных фазовые портреты впервые применил Моран [4, 43]. На плоскости для каждого момента времени I откладывалась точка и точки соединялись после довательно. Более сложный случай рассмотрен в раооте [44]. С помощью компьютерной графики исследовалась траектория

в трехмерном пространстве,  где I выбиралось таким образом, чтобы выити за пределы значимой корреляции между динамики численности и ее представление в виде фазового портрета с помощью метода главных компонент впервые рассмотрены нами в работах [36—42].

Фазовые траектории несут достаточно богатую ин­формацию как о внутренней структуре процесса и ее параметрах, так и искажениях этого процесса другими факторами, случайными или, в свою очередь, обладаю­щими некоторой регулярной структурой. Кроме того, как покажем ниже (1.4), фазовыми портретами можно дополнять и такие классические средства исследования временных рядов, как линейная фильтрация и спект­ральный анализ.