1.4. ОБЩНОСТЬ ОБРАБОТКИ ВРЕМЕННОГО РЯДА МЕТОДАМИ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ, СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ

 

 

Пусть

 

—временной ряд, центрированный своим средним значением и

 

 

— выборочная оценка автоковариации порядка /. Как известно, сглаженная спектральная плотность }к (ю) оценивается по (Ьоюмуле [401:

 

 

 

где

— некоторая весовая функция, определенная

 

 

на интервале

и равная нулю вне

 этого интервала. Если исходный ряд имеет цикличе­скую составляющую с частотой со, то спектральная функция будет иметь на этой частоте локальный макси­мум. Обратный вывод не всегда является обоснованным и служит источником многих затруднений.

Из теории известно, что разложение на главные компоненты (1.2) при возрастании Т и К сходится к разложению в ряд Фурье, а собственные векторы стремятся к отрезкам синусоид [47]. Вследствие орто­гональности синуса и косинуса каждой частоте отвеча­ют две сопряженные компоненты.

Выберем теперь для конечного ряда сопряженные отрезки синусоиды в качество фильтров и вычислим сумму дисперсий сопряженных рядоп. Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

— нормировочная констапта, а     — спектральная

плотность па частоте со, сглаженная окном Бартлетта

 

 

Следовательно, спектральный анализ является ча­стным случаем линейной фильтрации ряда, когда в ка­честве фильтров берутся отрезки гармоник. Так как в методе главных компонент фильтром может оказать­ся любой пз (К + 1)-мерпых векторов единичной дли­ны, а не только отрезок синусоиды, то следует при­знать, что этот метод несколько богаче по своим возмож­ностям, чем спектральный анализ. Весьма полезным в методе главных компонент является и наглядное, то спектральная плотность имеет локальные максиму­мы на частотах, соответствующих периодам в 10, 10/2, 10,3... отсчетов. 11а рис. 1 приведены траектории этого процесса в фазовых пространствах I и II, III и IV ком­понент. Для сравнения даны отфильтрованные траек­тории на частотах, соответствующих периодам 10 и 10/3 (рис. 2). Очевидно, что, по крайней мере, для некото­рых кратных частот, отвечающих локальным максиму­мам, с помощью фазовых портретов выявляется «насто­ящая» 10-точечная периодичность исходного ряда. Эта же периодичность выявляется и методом главных ком­понент.

 

Так же, как и в методе главных компонент, дисперсии отфильтрованных рядов  ходпый ряд был нормирован, то надо учитывать, что отфильтрованные ряды вообще говоря, могут не быть ортогональными друг другу, и в таком случае их истинный вклад в общую дисперсию будет меньше суммы их дисперсии.