4.4  Оцінка точності параметрів, отриманих із рішення     системи нормальних рівнянь

Середня квадратична похибка одиниці ваги  розраховується за формулою

 

                                 (4.11)

 

У формулі (7.1) - число початкових рівнянь, - число невідомих. В нашому випадку  V- різниця між вирахуваним значенням  і вихідним значенням 

 

                                                (4.12)

Підставляючи у виведену нами, формулу (4.4) значення  початкових рівнянь отримаємо розрахункові значення , які будуть дещо відрізнятися від вихідних значень

Середня квадратична похибка одиниці ваги за результатами наших досліджень

 

μ= √(6,464365/29)= 0,472133.

Коваріаційна матриця         К=Nˉ¹μ²

 

8,383597499   0,038852781   -1,307238261 0,021825

0,038852781   0,088960696   -0,027024645 0,004352

-1,307238261 -0,02702464   0,294022336   -0,01043

0,021825238   0,004352011   -0,010429213 0,008399

0,021722177   0,007141627   -0,008883669 -0,0011

0,068521047   -0,06348244   -0,031833165 0,000844

0,024426591   0,003295768   -0,00202444   0,001768

0,007408396   -0,00294619   0,004154258   -0,00151

-0,554745001 -0,01579676   0,040799699   -0,0049

          X0                 X1                    X2                 X3   

       

Продовження ковариаційної матриці К=Nˉ¹μ²

 

0,0217222       0,068521047   0,024426591   0,007408         -0,55475

0,0071416       -0,063482444 0,003295768   -0,00295         -0,0158

-0,008884       -0,031833165 -0,00202444   0,004154         0,0408

-0,001098       0,000844334   0,001768282   -0,00151         -0,0049

0,0314757       -0,023835076 0,004692745   0,00294           -0,01545

-0,023835       0,122872656   -0,000794078 -0,0085           -0,00959

0,0046927       -0,000794078 0,01925637     -0,00601         -0,02453

0,0029397       -0,008503962 -0,00601369   0,007049         0,003284

-0,015449       -0,009591138 -0,024527702 0,003284         0,135819

      X4        X5                    X6                 X7       X8

Кореляційна матриця факторних ознак R

 

            Столбец 1      Столбец 2      Столбец 3      Столбец 4

Столбец 1      1          0,31835727     -0,06161         0,1835129

Столбец 2      0,31835727     1          0,166723         0,2169984

Столбец 3      -0,06161142   0,166722763   1          0,0999413

Столбец 4      0,183512877   0,216998446   0,099941         1

Столбец 5      0,753690358   0,345964044   0,020248         0,3653088

Столбец 6      0,27672723     -0,036817127 -0,02672         -0,136432

Столбец 7      0,439704044   0,063992219   0,090561         -0,100782

Столбец 8      0,32756921     -0,048131095 0,075683         0,1981753

                 X1         X2                   X3                  X4

 

Продовження кореляційної матриці факторних ознак  R

   

Столбец 5      Столбец 6      Столбец 7      Столбец 8

0,753690358   0,27672723     0,439704         0,327569

0,345964044   -0,036817127 0,063992         -0,04813

0,020248226   -0,026719455 0,090561         0,075683

0,365308801   -0,136431967 -0,10078         0,198175

1          0,306225931   0,486201         0,364366

0,306225931   1          0,631377         0,527649

0,486201157   0,631376931   1          0,330486

0,364366275   0,527648579   0,330486         1

     X5        X6        X7                  X8

 

Обернена       кореляційна   матриця            Z=1/R

 

            1          2          3          4

1          2,520565168   -0,300645696 0,26685           0,2572807

2          -0,3006457     1,284312076   -0,25109         -0,12566

3          0,266850063   -0,251086901 1,114567         -0,085592

4          0,257280689   -0,125660166 -0,08559         1,4417696

5          -1,71032107   -0,336743381 0,049228         -0,81649

6          0,188407423   -0,04544034   0,218761         0,3410975

7          -0,27685817   0,153279758   -0,30721         0,3512488

8          -0,29604444   0,300220944   -0,19873         -0,368132

                 X1         X2                   X3                  X4

 

Продовження матриці   Z=1/R

 

            5          6          7          8

-1,710321069 0,188407423   -0,27686         -0,29604

-0,336743381 -0,04544034   0,15328           0,300221

0,049228404   0,218761335   -0,30721         -0,19873

-0,816489851 0,341097548   0,351249         -0,36813

3,147773661   -0,043164736 -0,75987         -0,17092

-0,043164736 2,221045801   -1,14019         -0,92744

-0,7598741     -1,140194061 2,197034         0,204115

-0,170916182 -0,927443161 0,204115         1,683603

     X5        X6        X7                  X8

 

Частинні коефіцієнти кореляції         r ij =            zij/√(zii*zjj)

 

            1          2          3          4

1          1          -0,167097804 0,159208         0,1349616

2          -0,1670978     1          -0,20986         -0,092345

3          0,159208161   -0,20986294   1          -0,06752

4          0,134961625   -0,09234522   -0,06752         1

5          -0,60719325   -0,167479647 0,026282         -0,383267

6          0,079628821   -0,026904661 0,13904           0,1906127

7          -0,11764947   0,091249629   -0,19632         0,1973552

8          -0,14371038   0,204167165   -0,14507         -0,236285

                 X1         X2                   X3                  X4

 

Продовження матриці

    r ij =            zij/√(zii*zjj)

 

-0,607193246 0,079628821   -0,11765         -0,14371

-0,167479647 -0,026904661 0,09125           0,204167

0,026282156   0,139039689   -0,19632         -0,14507

-0,383266724 0,190612735   0,197355         -0,23628

1          -0,016324827 -0,28895         -0,07424

-0,016324827 1          -0,51616         -0,47961

-0,288949188 -0,51615674   1          0,10613

-0,074244046 -0,479610565 0,10613           1

     X5        X6        X7                  X8

 

 

Кореляційна матриця результатів педагогічного експерименту R(Yспотв.,X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8)             (Yспотв.)

 

 

 

 

            Столбец 1      Столбец 2      Столбец 3      Столбец 4

Столбец 1      1                                

Столбец 2      0,566005136   1                     

Столбец 3      0,146649357   0,317324         1         

Столбец 4      0,045732457   -0,08112         0,1647472       1

Столбец 5      -0,296765707 0,176532         0,2154532       0,08146175

Столбец 6      0,26677499     0,752063         0,3450328       0,004263239

Столбец 7      0,576167275   0,274779         -0,037852       0,035077255

Столбец 8      0,874113627   0,437116         0,0625623       0,080557082

Столбец 9      0,368553147   0,325032         -0,049507       0,067288671

                        Yспотв.               X1         X2                   X3

 

Продовження кореляційної матриці R(Yспотв.,X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8)

 

Столбец 5      Столбец 6      Столбец 7      Столбец 8      Столбец 9

                                                

                                                

                                                

                                                

1                                            

0,36039265     1                                

-0,140922936 0,304486         1                     

-0,107266457 0,483982         0,63073           1         

0,19455738     0,362131         0,526844         0,328639         1

      X4      X5        X6        X7                  X8

 

 

Кореляційна матриця результатів педагогічного експерименту R(X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,зрівн.)

            Столбец 1      Столбец 2      Столбец 3      Столбец 4

Столбец 1      1                                

Столбец 2      0,31835727     1                     

Столбец 3      -0,061611418 0,166723         1         

Столбец 4      0,183512877   0,216998         0,0999413       1

Столбец 5      0,753690358   0,345964         0,0202482       0,365308801

Столбец 6      0,27672723     -0,03682         -0,026719       -0,136431967

Столбец 7      0,439704044   0,063992         0,0905606       -0,100781854

Столбец 8      0,32756921     -0,04813         0,0756825       0,198175279

Столбец 9      0,561456924   0,18371           0,0235668       -0,266855865

                 X1         X2                   X3                  X4

 

 

Продовження кореляційної матриці R(X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,зрівн.)

 

 

1                                            

0,306225931   1                                

0,486201157   0,631377         1                     

0,364366275   0,527649         0,330486         1         

0,25068415     0,609396         0,864651         0,386272         1

                                                

     X5        X6        X7                  X8     Y'зрівн.

    

Кореляційна матирця істинної моделі    R(X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,Yістн.)

            Столбец 1      Столбец 2      Столбец 3      Столбец 4

Столбец 1      1                                

Столбец 2      #ДЕЛ/0!         1                     

Столбец 3      #ДЕЛ/0!         0,3183573       1         

Столбец 4      #ДЕЛ/0!         -0,061611       0,166722763   1

Столбец 5      #ДЕЛ/0!         0,1835129       0,216998446   0,099941282

Столбец 6      #ДЕЛ/0!         0,7536904       0,345964044   0,020248226

Столбец 7      #ДЕЛ/0!         0,2767272       -0,036817127 -0,026719455

Столбец 8      #ДЕЛ/0!         0,439704         0,063992219   0,090560639

Столбец 9      #ДЕЛ/0!         0,3275692       -0,048131095 0,075682513

Столбец 10    #ДЕЛ/0!         0,5468201       0,174084146   0,046324245

                             X1         X2                   X3

 

Продовженя кореляційної матирці істинної моделі

 

Столбец 5      Столбец 6      Столбец 7      Столбец 8      Столбец 9      Столбец 10

                                                            

                                                            

                                                            

                                                            

1                                                        

0,365309         1                                            

-0,13643         0,306226         1                                

-0,10078         0,486201         0,631377         1                     

0,198175         0,364366         0,527649         0,330486         1         

-0,27107         0,271415         0,596041         0,864581         0,357617         1

      X4      X5        X6        X7                  X8     Yістн.

 

Кореляційна матриця результатів екзамену

 

            Столбец 1      Столбец 2      Столбец 3      Столбец 4

Столбец 1      1                                

Столбец 2      #ДЕЛ/0!         1                     

Столбец 3      0,323592401   #ДЕЛ/0!         1         

Столбец 4      0,103017993   #ДЕЛ/0!         0,3183573       1

Столбец 5      0,027413357   #ДЕЛ/0!         -0,061611       0,166722763

Столбец 6      -0,160412227 #ДЕЛ/0!         0,1835129       0,216998446

Столбец 7      0,16061577     #ДЕЛ/0!         0,7536904       0,345964044

Столбец 8      0,352719734   #ДЕЛ/0!         0,2767272       0,036817127

Столбец 9      0,511634281   #ДЕЛ/0!         0,439704         0,063992219

Столбец 10    0,211627189   #ДЕЛ/0!         0,3275692       0,048131095

                       Yекзам.                 X0      X1         X2

 

Продовження кореляційної матриці результатів екзамену

 

Столбец 5      Столбец 6      Столбец 7      Столбец 8      Столбец 9      Столбец 10

                                                            

                                                            

                                                            

                                                            

1                                                        

0,099941282   1                                            

0,020248226   0,365309         1                                

-0,026719455 -0,13643         0,306226         1                     

0,090560639   -0,10078         0,486201         0,631377         1         

0,075682513   0,198175         0,364366         0,527649         0,330486         1

       X3                  X4      X5        X6        X7                  X8

 

Оберненими вагами встановлених нами коефіцієнтів математичної моделі будуть діагональні елементи оберненої матриці Q.

Середні квадратичні похибки коефіцієнтів розраховують за формулою

 

 

 

Таблиця 6. Обернені ваги встановлених нами коефіцієнтів

математичної моделі і їх середні квадратичні похибки

 

           

  1/Pa      √(1/Pa)           ma    

37,60993         6,1326936       2,895444         a0

0,399089         0,6317353       0,298263         a1

1,319023         1,14848736     0,542238         a2

0,037681         0,19411615     0,091649         a3

0,141204         0,37577152     0,177414         a4

0,551223         0,74244396     0,350532         a5

0,086387         0,29391603     0,138767         a6

0,031624         0,17783132     0,08396           a7

0,609304         0,78057916     0,368537         a8

 

     Значимість коефіцієнтів встановлюється за формулою

 

     І в нашому випадку отримаємо Таблиця 7.

 

  t=a/ma          

18,62688        

18,03737         Інтерес

9,482368         Роб.викл.

0,694451         Трудність

5,915502         Наук.пош.

18,55349         Зв'яз.спец

1,024309         Моногр.1

28,98166         Моногр.2

7,842755         Наук.школ

Значимість    

 

t(0,05;30)=      2,042272

 

 

Для коефіцієнтів регресії a0,a1,a2,a4,a5,a7,a8     t> t(0,05;30),

тобто коефіцієнти регресії статистично значимі, а значить і сама математична модель адекватно описує якість засвоєння дисципліни.

Коефіцієнти а3, а6 незначимі і їх можна виключити з розгляду.                               

Згідно таблиці 4 коефіцієнт детермінації R² =0,9885511, тобто маємо дуже тісну кореляцію з моделлю.

За критерієм Фішера-Снедекора ми отримали

 

F0,05;8;29      2,278251

F=356,405      F>Fтабл.

 

Оскільки F>F(0.05;8;29), тобто (356,405>2,278) , то згідно критерію Фішера  з надійністю Р=0,95 математичну модель

 

 

можна вважати адекватною експериментальним даним і на підставі прийнятої моделі можна проводити педагогічний аналіз.

Знайдемо значення оберненої ваги зрівноваженої функції 1/РУ’  за Формулою

 

     Для цього попередньо перемножим матриці

 

 

 

   =МУМНОЖ(H2:P39;A68:I76) F2,Ctrl+Shift+Enter.      (4.17)

Допоміжна матриця Q’

 

-0,5589           0,2841 0,1696 0,0036 0,0004 -0,4619           -0,0133           0,0302 0,1049

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,04018           0,0298 -0,0138           0,0120 -0,0014           -0,0294

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0401 0,0298 -0,0138           0,0120 -0,0014           -0,0294

-0,2520           0,0118 0,0337 -0,0351           0,0396 -0,0214           -0,0037           0,0120 0,0145

5          -1,53E-14        -1         3,05E-16         -1,1E-14          2,37E-14         -3,4E-15          -1,3E-15          1,24E-14

-0,3495           -0,0201           0,0736 -0,0302           -0,1015           0,0854 -0,0248           -0,0011           0,0838

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0401 0,0298 -0,0138           0,0120 -0,0014           -0,0294

-0,3499           -0,0076           0,08054           -0,072  0,0445 -0,0252           -0,0117           0,0188 0,0365

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0401 0,0298 -0,0138           0,0120 -0,0014           -0,0294

-0,8020           -0,0168           0,1578 0,0130 0,0436 -0,0933           0,1278 -0,1014           0,0328

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0401 0,0298 -0,0138           0,0120 -0,0014           -0,0294

1,1387 -0,0198           0,0202 -0,0046           0,0077 -0,0325           -0,1940           0,0187 -0,0263

-0,7665           -0,1017           0,2722 -0,0091           -0,0447           -0,1390           -0,0015           0,0118 0,1610

-0,2520           0,0118 0,0337 -0,0351           0,0396 -0,0214           -0,0037           0,0120 0,0145

-0,3490           -0,0326           0,0666 0,0123 -0,2476           0,1961 -0,0379           -0,0210           0,1311

-0,2516           -0,0006           0,0268 0,0074 -0,1064           0,0892 -0,0169           -0,0078           0,0618

-0,7332           -0,1149           0,2908 -0,0158           -0,0315           -0,1771           -0,0281           0,0434 0,1757

-0,1658           0,0361 -0,0507           0,0322 0,0087 -0,0103           -0,0743           0,0255 0,0806

-0,5278           0,0631 -0,0503           -0,0092           -0,0473           0,1728 0,0447 -0,1190           0,0509

-0,2520           0,0118 0,0337 -0,0351           0,0396 -0,0214           -0,0037           0,0120 0,0145

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0401 0,0298 -0,0138           0,0120 -0,0014           -0,0294

-0,2516           -0,0006           0,0268 0,0074 -0,1064           0,0892 -0,0169           -0,0078           0,0618

1,7221 -0,0308           0,0892 0,0128 0,0245 -0,0959           0,1088 -0,0028           -0,4482

-0,2520           0,0118 0,0337 -0,0351           0,0396 -0,0214           -0,0037           0,0120 0,0145

-0,2520           0,0118 0,0337 -0,0351           0,0396 -0,0214           -0,0037           0,0120 0,0145

-0,2516           -0,0006           0,0268 0,0074 -0,1064           0,0892 -0,0169           -0,0078           0,0618

-0,2521           0,0119 0,0338 -0,0352           0,0396 -0,0215           -0,0038           0,0121 0,0146

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0402 0,0298 -0,0139           0,0121 -0,0015           -0,0294

-0,2521           0,0119 0,0338 -0,0352           0,0396 -0,0215           -0,0038           0,0121 0,0146

-0,2305           -0,3482           0,0614 0,0207 -0,0022           0,2709 -0,0027           0,0117 0,0415

-0,2521           0,0119 0,0338 -0,0352           0,0396 -0,0215           -0,0038           0,0121 0,0146

-0,3285           -0,3677           0,1082 -0,0170           0,0027 0,2671 -0,0106           0,0185 0,0634

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0402 0,0298 -0,0139           0,0121 -0,0015           -0,0294

-0,2521           0,0119 0,0338 -0,0352           0,0396 -0,0215           -0,0038           0,0121 0,0146

-0,2521           0,0119 0,0338 -0,0352           0,0396 -0,0215           -0,0038           0,0121 0,0146

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0402 0,0298 -0,0139           0,0121 -0,0015           -0,0294

2,1391 0,0507 -0,1094           -0,0083           -0,0322           0,1285 0,0852 -0,0158           -0,5254

-0,0562           0,0509 -0,0598           0,0402 0,0298 -0,0139           0,0121 -0,0015           -0,0294

 

     Обернену вагу 1/Pφ знаходимо порядковим множенням

     =МУМНОЖ(W2:AE2;A46:A54)  F2,Ctrl+Shift+Enter    ,        (4.18)

де першою строчкою  (W2:AE2) буде перша строчка матриці Q’, стовпчиком (A46:A54) ,буде перший стовпчик

транспонованої матриці ХТ .

 

Таблиця 8. Обернені ваги зрівноваженої функції і її середні квадратичні похибки

   1/Py' √(1/Py')           m(y')

0,487704         0,698358         0,329718

0,08594           0,293155         0,138408

0,08594           0,293155         0,138408

0,075925         0,275546         0,130094

1          1          0,472133

0,487704         0,698358         0,329718

0,13783           0,371254         0,175281

0,08594           0,293155         0,138408

0,183961         0,428907         0,202501

0,08594           0,293155         0,138408

0,62038           0,787642         0,371871

0,08594           0,293155         0,138408

0,945212         0,97222           0,459017

0,263131         0,512963         0,242186

0,075925         0,275546         0,130094

0,469169         0,684959         0,323392

0,115006         0,339126         0,160112

0,318474         0,564335         0,266441

0,148166         0,384923         0,181735

0,569883         0,754906         0,356416

0,075925         0,275546         0,130094

0,08594           0,293155         0,138408

0,115006         0,339126         0,160112

0,550332         0,741844         0,350249

0,075925         0,275546         0,130094

0,075925         0,275546         0,130094

0,115006         0,339126         0,160112

0,075925         0,275546         0,130094

0,08594           0,293155         0,138408

0,075925         0,275546         0,130094

0,383167         0,619005         0,292252

0,075925         0,275546         0,130094

0,379526         0,616057         0,29086

0,08594           0,293155         0,138408

0,075925         0,275546         0,130094

0,075925         0,275546         0,130094

0,08594           0,293155         0,138408

0,579391         0,761177         0,359377

0,08594           0,293155         0,138408

 

Додаток 9.Матриця коефіцієнтів нормальних рівнянь N

38        182      189      148      178      183      183      172      187

182      878      906      708      854      881      880      833      897

189      906      941      737      886      911      910      856      930

148      708      737      606      695      713      712      674      729

178      854      886      695      844      860      855      803      877

183      881      911      713      860      887      885      838      902

183      880      910      712      855      885      907      855      905

172      833      856      674      803      838      855      848      851

187      897      930      729      877      902      905      851      923

 

Додаток 10. Обернена матриця Q=N-1

37,60993079   0,17429873     -5,864444295 0,097911

0,17429873     0,399089485   -0,121236141 0,019524

-5,864444295 -0,12123614   1,319023213   -0,04679

0,097910912   0,0195237       -0,046786832 0,037681

0,09744857     0,032038288   -0,03985332   -0,00493

0,307394507   -0,28479067   -0,142807802 0,003788

0,109580929   0,014785251   -0,009081906 0,007933

0,033235048   -0,01321701   0,018636552   -0,00678

-2,488659681 -0,07086638   0,183032862   -0,02198

Продовження матриці  Q=N-1

 

0,0974486       0,307394507   0,109580929   0,033235         -2,48866

0,0320383       -0,284790668 0,014785251   -0,01322         -0,07087

-0,039853       -0,142807802 -0,009081906 0,018637         0,183033

-0,004925       0,003787794   0,007932749   -0,00678         -0,02198

0,1412042       -0,106927314 0,021052276   0,013188         -0,06931

-0,106927       0,551223037   -0,003562341 -0,03815         -0,04303

0,0210523       -0,003562341 0,086386633   -0,02698         -0,11003

0,0131881       -0,0381499     -0,02697821   0,031624         0,014732

-0,069307       -0,043027119 -0,110034524 0,014732         0,609304

Додаток 4.  Транспонована матриця початкових рівнянь Nтр

 

1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1            1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1          1            1          1          1          1          1          1          1

5          5          5          5          4          5          5          5          5          4          5          4          4          5          5          5            4          5          5          5          5          5          4          5          5          5          5          5          5          4          5            4          5          5          5          5          5          5

5          5          5          5          4          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5            5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5            5          5          5          5          5          5          5

4          5          5          3          3          3          5          2          5          4          5          4          4          3          4          4            4          5          3          3          5          4          4          3          3          4          3          5          3          5          3            4          5          3          3          5          3          5

4          5          5          5          4          4          5          5          5          5          5          5          4          5          3          4            4          5          5          5          5          4          4          5          5          4          5          5          5          5          5            5          5          5          5          5          4          5

4          5          5          5          4          5          5          5          5          4          5          4          4          5          5          5            4          5          5          5          5          5          4          5          5          5          5          5          5          5          5            5          5          5          5          5          5          5

5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          0          5          5          5          5            5          4          4          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5            5          5          5          5          5          5          5

5          5          5          5          4          5          5          5          5          0          5          0          4          5          5          5            5          5          0          5          5          5          4          5          5          5          5          5          5          5          5            5          5          5          5          5          5          5

5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          5          4          5          5          5          5            5          5          5          5          5          5          4          5          5          5          5          5          5          5          5            5          5          5          5          5          4          5