1.2. Імітаційне моделювання та метод статистичних      випробувань.

 

Існує клас об'єктів, для яких з різних причин не розроблені аналітичні моделі або не розроблені методи розв'язування задач про такі моделі. В цьому випадку математична модель замінюється імітатором або імітаційною моделлю.

Імітаційна модель — логіко-математичний опис об'єкту, який може бути використаний для експериментування на комп'ютері в цілях проектування, аналізу і оцінки функціонування об'єкту.  Імітаційне моделювання — це окремий випадок математичного моделювання,  метод дослідження, заснований на тому, що система, яка вивчається, замінюється імітатором і з ним проводяться експерименти з метою отримання інформації про цю систему. Експериментування з імітатором називають імітацією (імітація — це збагнення суті явища, не вдаючись до експериментів на реальному об'єкті).

Імітаційне моделювання (машинна імітація) - особлива форма проведення експериментів на ЕОМ з математичними моделями, які з певним ступенем ймовірності описують закономірності функціонування реальних систем і об’єктів. Це метод, що дозволяє будувати моделі процесів, що описують, як ці процеси проходили б насправді. Таку модель можна «програти» в часі як для одного випробування, так і заданої їх кількості. При цьому результати визначатимуться випадковим характером процесів. За цими даними можна отримати достатньо стійку статистику.

Імітація як метод розв'язування нетривіальних задач отримала початковий розвиток у зв'язку із створенням ЕОМ в 1950х — 1960х роках.

Імітаційні (алгоритмічні) моделі можуть бути детермінованими і стохастичними. В останньому випадку за допомогою датчиків (генераторів) випадкових чисел імітується вплив (дія) невизначених і випадкових чинників. Такий метод імітаційного моде¬лювання дістав назву методу статистичного моделювання (статистичних прогонів, чи методу Монте-Карло). На даний час цей метод вважають одним із найефективніших методів дослідження складних систем, а часто і єдиним практично доступним методом отримання нової інформації щодо поведінки гіпотетичної системи (на етапі її проектування).

 Винахідником методу Монте-Карло називають Станіслава Улама (Stanislaw Ulam), американського математика, який народився у м. Львові. С.Улам  перш за все відомий як людини яка брала участь в проектуванні водневої бомби з Едуардом Теллером на початку 50-х років. Під час II Світової Війни  Станіслав Марцин Улам і Джон фон Нейман (Neumann)  працювали в Лос-Аламосі на  Манхеттенському Проекті над моделюванням нейтронної дифузії в розщеплюваному матеріалі. Метод Монте-Карло він винайшов в 1946 р., коли  одужуючи після хвороби, і, розкладаючи пасьянси, задався питанням, яка вірогідність того, що пасьянс «складеться». Йому в голову прийшла ідея, що замість того, щоб використовувати звичайні для подібних завдань міркування комбінаторики, можна просто поставити «експеримент» велике число раз і, таким чином, підрахувавши число вдалих результатів, оцінити їх вірогідність. Він же запропонував використовувати комп'ютери для розрахунків методом Монте-Карло. Працюючи з Джоном фон Нейманом і Ніколасом Метрополісом (N. Metropolis), він розвивав алгоритми для комп'ютерних виконань, також як і досліджував засіб перетворення не випадкових проблем у випадкові форми, які полегшили б їх розв’язок через статистичне здійснення вибірки. Ця робота перетворила статистичне здійснення вибірки з математичної цікавості-  на формальну методологію, що застосовується до широкого кола різноманітних проблем.         Поява перших електронних комп'ютерів, які могли з великою швидкістю генерувати псевдовипадкові числа, різко розширила круг завдань, для вирішення яких стохастичний підхід виявився ефективнішим, ніж інші математичні методи. Після цього відбувся великий прорив і метод Монте-Карло застосовувався в багатьох завданнях, проте його використання не завжди було виправдано через велику кількість обчислень, необхідних для отримання відповіді із заданою точністю.         Роком народження методу Монте-Карло вважається 1949 рік, коли в світ виходить стаття Метрополіса і Улама «Метод Монте-Карло» в журналі Journal of American Statistical Association (Журнал американської статистичної звітності).  Назва методу походить від назви міста в князівстві Монако, широко відомого своїми численними казино, оскільки саме рулетка є одним з  найвідоміших генераторів випадкових чисел. Станіслав Улам пише в своїй автобіографії «Пригоди математика», що назва була запропонована Метрополісом на честь його дядька, який був азартним гравцем. 

Метод Монте-Карло — це сукупність формальних процедур, засобами яких відтворюються на ЕОМ будь-які випадкові фактори (випадкові події, випадкові величини з довільним розподілом, випадкові вектори тощо). У межах цього підходу будується ймовірнісна модель, яка відповідає математичній чи фізичній задачі, і на ній реалізується випадкова вибірка. «Розігрування» вибірок за методом Монте-Карло є основним принципом імітаційного моделювання систем із стохастичними (випадковими, імовірними) елементами.

Метод Монте-Карло — це метод імітації для приблизного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілювання ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи дані, а також максимізувати значення даних, які використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці випадкових чисел. [2, стр.70]

Метод статистичного моделювання (чи метод Монте-Кар¬ло) — це спосіб дослідження невизначених (стохастичних) економічних об’єктів і процесів, коли не повністю (до певної міри) є відомими  внутрішні взаємодії в цих системах.

Цей метод полягає у модельному відтворенні процесу за допомогою стохастичної математичної моделі та обчисленні характеристик цього процесу. Одне таке відтворення можливого (випадкового) стану функціонування модельованої системи нази¬вають реалізацією (чи імітаційним прогоном).Після кожного прогону реєструють сукупність параметрів, що характеризують випадкову подію (її реалізацію). Метод ґрунтується на багатократних прогонах (випадкових реалізаціях) на підставі побудованої моделі з подальшим статистичним опрацюванням отриманих даних з метою визначення числових характеристик досліджуваного об’єкта (процесу) у вигляді статистичних оцінок його параметрів. Процес моделювання економічної системи зводиться до машинної імітації досліджуваного процесу, котрий моделюється на ЕОМ з усіма суттєвими невизначеностями, випадковостями і породженим ними ризиком.

Метод Монте-Карло широко використовується у всіх випадках імітації на ЕОМ. На сьогодні він охоплює будь-яку техніку статистичного здійснення вибірки, яке використовується для приблизних рішень  кількісних проблем.

Він приміняється:

Для визначення площі довільних фігур.

Для вибору найкращих стратегій в задачах, де присутні багато випадкових факторів.

Для визначення ймовірності, чи відбудеться якась подія.

Для побудови різних  геометричних об”єктів, в тому числі лабіринтів та фракталів.

Для моделювання поведінки складних екологічних та економічних систем.

Розв’язування задач методом статистичного моделювання полягає в слідуючому:

1. Опрацювання й побудова структурної схеми процесу, виявлення основних взаємозв’язків;

2. Формалізований опис процесу;

3. Моделювання випадкових явищ (випадкових подій, випадкових величин, випадкових функцій), що притаманні досліджуваній системі;

4. Моделювання процесу функціонування системи (на підставі використання даних, що отримані на попередньому етапі) — відтворення процесу відповідно до розробленої структурної схеми і формалізованого опису (імітаційні прогони);

5. Накопичення результатів моделювання (імітаційних прогонів), статистичне опрацювання, аналіз та інтерпретація їх.

Будь-які твердження стосовно  характеристик модельованої системи повинні ґрунтуватися на результатах відповідних перевірок за допомогою методів математичної статистики.

Оскільки випадкові події й випадкові функції можуть подаватися з використанням випадкових величин, то й моделювання випадкових подій і випадкових функцій проводиться за допомогою випадкових величин.