3.2 Метод Джозефа

Головна ідея методу Джозефа полягає в тому, що тривимірна та чотиривимірна задачі зводяться до двовимірної через проектування фазового простору на площину, яка утворюється власними векторами лінійної частини оператора, що відповідають двом уявним власним значенням матриці Якобі, обчисленої в стаціонарній точці. Беручи до уваги, що інші власні значення мають від’ємну дійсну частину, їх внесок в проекцію розв’язку на площину не враховується.  Біфуркаційний параметр подається у вигляді суми свого біфуркаційного значення і невідомого збурюючого параметра, який необхідно розвинути в ряд за степенями малого параметра . Невідому частоту коливань та вектор фазових координат також слід розвинути в ряд, що дозволяє від системи нелінійних рівнянь перейти до нескінченної послідовності систем лінійних рівнянь, бо лінійна частина кожної з них буде відомою вектор-функцією, як тільки проінтегрована попередня система. При цьому перша з систем є лінійною і однорідною і має розв’язок у вигляді лінійної комбінації періодичних векторів. Невідомі елементи розвинення в ряд частоти і збурюючого параметра знаходять із алгебраїчної системи лінійних рівнянь, яка отримана за допомогою застосування до правої частини кожної системи альтернативи Фредгольма: розв’язок однорідної спряженої системи повинен бути ортогональним до правої частини відповідної системи. Для з’ясування питання про стійкість періодичного розв’язку застосовується теорема факторизації [38], згідно з якою показник Флокке подається у вигляді добутку двох співмножників, один з яких дорівнює похідній від збурюючого параметра  по малому параметру . Однак з’ясування цього питання вимагає додаткового  вивчення.

Таким чином, біфуркаційний аналіз динаміки лазерних моделей базується на застосуванні кількісних методів теорії нелінійних коливань: алгоритму біфуркації народження циклу та методу Джозефа. Хоча метод Джозефа має певні переваги при знаходженні періодичного розв’язку системи трьох та більшого числа диференціальних рівнянь, очевидну перевагу при з’ясуванні питання про стійкість граничних циклів при отриманні аналітичних залежностей для параметрів моделей має алгоритм біфуркації народження циклу.