4.2 Біфуркація Хопфа в динаміці твердотільного лазера з квадратичним навантаженням

У попередньому підрозділі було показано, що граничний цикл, викликаний біфуркацією Хопфа, не задовольняє умови стійкості. У цьому підрозділі розглядається та ж модель, але з додатковим квадратично-нелінійним елементом, який можна розглядати як квадратичне навантаження, тобто розглядається модель (1.6) з попереднім модулятором добротності і навантаженням  [40,42]. Для зручності перепишемо (1.6) у вигляді:

 

                              (4.10)

 

Ця система має розв'язки, характер яких забражений на рис.4.1.

 

 

 

Із рисунка бачимо, що в області В граничний цикл є стійким, а в А і С – він відсутній. Фазові портрети, які відповідають точкам 1, 3, 4, показані на рис.4.2, де можна бачити, що зміна параметрів ,  і  корінним чином змінює топологію фазового портрета: зі зростанням параметра накачки  в обмежених зверху і знизу інтервалах зміни параметрів  і  фокус S із притягуючого стає відштовхуючим і виникає граничний цикл, що охоплює цей фокус. Деталі граничного циклу, який відповідає режиму модуляції вихідного сигналу, показані на рис. 4.3 у різних масштабах зміни фазових змінних , що представляють інтенсивність випромінювання та інверсію.

Найбільш яскраво граничний цикл проявляється на лінії біфуркації, де фазовий портрет має вигляд, забражений на рис. 4.4. Із нього бачимо, що в точці біфуркації, де дійсна частина характеристичних коренів  дорівнює нулю, траєкторії системи мають вигляд концентричних еліпсів, що відповідають незатухаючим коливанням. Із віддаленістю від біфуркаційної кривої в область В на рис.4.1а фокус  стає відштовхуючим, і стаціонарна поведінка системи визначається тільки граничним циклом. З подальшим віддаленням в область В граничний цикл втрачає стійкість і випромінювання стає стаціонарним.