5.3.1 Аналіз результатів дослідження моделі лазера з безінерційним фільтром

Огляд літератури свідчить, що динаміка лазера з фільтром є об’єктом дослідження багатьох робіт. Значна увага приділяється  аналізу динаміки моделі (1.6), що враховує безінерційність фільтра, в роботі [8], де підкреслюється, що у зазначеній динамічній системі можуть виникнути автоколивання, яким на фазовій площині відповідають замкнені траєкторії – граничні цикли. Автори вводять нову змінну: , після чого система (1.6) набирає вигляду

 

 

де    , , . 

За допомогою ділення другого рівняння системи на перше отримано рівняння для знаходження фазових траєкторій , яке не інтегрується в квадратурах, тому у [8] використовуються якісні методи дослідження можливих фазових траєкторій. Проведено аналіз власних значень характеристичного рівняння, знайдено умову виникнення періодичних коливань, показано, що вся параметрична площина у змінних  поділяється на дев’ять областей, в чотирьох з яких існують стійкі граничні цикли. Однак способу побудови граничного циклу в аналітичному вигляді автори не запропонували, хоча таку необхідність вони визнають.

У даній роботі вивчається модель лазера з безінерційним фільтром і нелінійним елементом (1.7), яка отримана з моделі (1.5) за допомогою адіабатичного виключення змінних. Метою дослідження є з’ясування умов виникнення біфуркації Хопфа, визначення біфуркаційних значень параметрів  і , знаходження критерію стійкості періодичної генерації та інтервалів стійкості для деяких параметрів, побудова періодичного розв’язку системи.

Перед проведенням біфуркаційного аналізу системи (1.7) зупинимося на порівнянні моделі з іншими моделями лазерів.  Розглянемо модель (1.7) у вигляді де доданок  визначає частину втрат інтенсивності випромінювання в резонаторі, що виникає через поглинання в фільтрі. З іншої точки зору, саме варіація параметрів  і  обумовлює зміну поглинання. За наявності в моделі (1.7) біфуркації Хопфа, виникає можливість побудувати періодичний розв’язок, який описує режим автоколивань. У свою чергу, маючи періодичний розв’язок, зокрема закон змінювання густини інтенсивності , можна одержати періодичну залежність від часу третьої фазової координати, тобто ненасиченого поглинання в фільтрі. 

Зазначимо, що два перших рівняння системи (5.33) з точністю до позначень збігаються з моделлю Статца-Демарса з дробово-раціональним модулятором добротності та квадратичним навантаженням (1.2). Але ця схожість лише зовні, бо зміст доданка  інший, оскільки застосована апроксимація дробово-раціональною функцією: , де – частота генерації; – час життя фотона в резонаторі; – добротність резонатора. Отже, у моделі (1.2) параметри керування  і  описують тип гіперболічної залежності модулятора добротності від інтенсивності випромінювання. Підкреслимо, що у випадку  отримаємо класичну модель Статца-Демарса, в якій не існують граничні цикли. У той самий час параметр  (модель 5.33) не може набувати нульового

значення, оскільки це означало б, що ненасичений коефіцієнт поглинання з самого початку роботи лазера з фільтром є нульовим, а насправді на початку роботи  він набуває найбільшого значення. Таким чином, зазначені моделі описують зовсім різні лазери, а отже, існує істотна різниця отриманих результатів. З іншого боку, біфуркаційний аналіз зазначених систем також суттєво відрізняється, оскільки при дослідженні моделі (1.2) стаціонарне значення інтенсивності визначається безпосередньо з рівняння для стаціонарного розв’язку, а при проведенні аналізу системи (5.33) стаціонарний розв’язок  віднесено до параметрів, що забезпечує відмінність отриманих аналітичних залежностей. Підкреслимо, що біфуркаційний аналіз моделі лазера з безінерційним фільтром проводиться для інших біфуркаційних параметрів, ніж у випадку моделі (1.2). Все сказане дає змогу зробити висновок, що результати досліджень істотно відрізняються, а з математичної точки зору отримані аналітичні залежності доповнюють результати біфуркаційного аналізу  моделі, проведеного у [40].

 У цій роботі чисельними методами отримана біфуркаційна діаграма при , на підставі аналізу якої отримано стійкий граничний цикл, який має місце при , , . Зазначений граничний цикл, що відповідає режиму модуляції вихідного сигналу, представлено в різних масштабах на рис.5.12.

 

                                 a                                                              б

  

 

Рисунок 5.12 - Граничний цикл у моделі лазера з безінерційним фільтром (на рис. 5.12 б подано збільшений масштаб граничного циклу)