ДВИЖЕНИЯ

 

Так как природа есть начало движения и изменения, а предмет нашего исследова­ния — природа, то нельзя оставлять невыяс­ненным, что такое движение; ведь незнание движения необходимо влечет за собой не­знание природы.

Аристотель

 

Движения плоскости — это такие ее преобразования, которые не меняют длины отрезков и как следствие со­храняют многие характеристики геометрических фигур (углы, площади), изменяя лишь их первоначальное по­ложение. Сравнивая полученное положение фигуры с пер­воначальным, часто можно легко прийти к выводам, по­лучить которые из других соображений затруднительно. Даже Евклид, считавший, что «математические предме­ты чужды движению», несколько раз применял наложе­ние фигур в своих рассуждениях. Заметим, что если бы великий геометр мог отказаться от своих философских взглядов, он значительно упростил бы некоторые доказа­тельства. Так, например, рассуждения о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника АБС  ста­новятся очевидными, если учесть возможность такого на­ложения данного треугольника на себя, что вершины В и С меняются местами.

 

 

Мы начнем эту главу с разбора примеров, решение которых основано на применении движений плоскости, хорошо известных читателю из школьного курса геомет­рии. При этом почти во всех задачах обыгрывается одна и та же идея: части чертежа, по условию расположенные неудачно, нужно переместить друг относительно друга так, чтобы прояснились скрытые до этого связи между различными элементами.г

Пример 12. Населенные пункты Л

Параллельный и В расположены по разные стороны перенос   прямолинейной реки с параллельны­

ми берегами. Требуется построить мост МЫ, перпендикулярный к берегам, чтобы расстояние АМЫВ было кратчайшим.

Если бы реки не было, то кратчайший путь из Л в б был бы прямолинейным. Попробуем «избавиться» от реки. «Придвинем» берег, на котором находится В, к бе­регу, на котором находится Л, перемещая его в направ­лении, перпендикулярном к линии берегов (рис. 20). Пусть В' — новое положение точки В. Тогда расстояние АМЫВ равно расстоянию АМВ'В. Положение точки В' (а значит, и длина отрезка ВВ') не зависит от выбора места для строительства моста. Остается выбрать точ­ку М на берегу так, чтобы ломаная АМВ' была как мож­но короче. Для этого, очевидно, в качестве М нужно взять точку пересечения прямой АВ' с линией берега.

Задача 29. Постройте кратчайший путь, соединяющий пункты А и В, которые разделены двумя реками (рис. 21).

 

Пример 13. Вписать данный вектор в данную окруж­ность (т. е. построить хорду данной окружности, равную и параллельную данному отрезку).

 

 

Требуется перенести данный отрезок АВ параллельно самому себе так, чтобы он вписался в данную окруж­ность С с центром в точке О (рис. 22). Оказывается, что проще, наоборот, перенести окружность к данному от­резку так, чтобы он стал ее хордой. В нашем примере вопреки известной пословице гора идет к Магомету. Строим на отрезке АВ как на основании равнобедренный

 

треугольник с боковой стороной, равной радиусу г окруж­ности С. Вершина Б этого треугольника служит центром окружности, описанной около отрезка АВ. При перено­се на векторэта окружность перейдет в исходную окружность, а образ отрезка А В будет искомой хордой.

Предлагаем решить еще две задачи на параллельный перенос. В первой можно воспользоваться способом, ко­торый мы применили в примере 13.

Задача 30. Внишите данный вектор в данный треугольник (т. е постройте отрезок с концами на сторонах данного треугольника, рав­ный и параллельный данному отрезку).

Задача 31. Постройте трапецию по ее основаниям и диагоналям.

 

Пример 14. На плоскости даны пря- Отражения мая I и две точки Л и б по одну сторону от нее. Требуется на этой пря-1 мой указать точку М, такую, чтобы длина ломаной АМВ, была минимальной. (Те из читателей, кто предпочитает реальные задачи абстрактным, могут представить, что в точке Л находится человек с пустым ведром, в точке В — горящий стог, а прямая I — это река.)Если бы точки А и В располагались по разные сторо­ны от прямой /, решение было бы очевидным: нужно про­сто соединить эти точки отрезком прямой. Попробуем исправить ситуацию, имеющую место в данной задаче: отразим точку В симметрично относительно прямой I (рис. 23). Тогда при любом расположении точки М на прямой I ломаные АМВ и АМВ' имеют одинаковую дли­ну. Точки же Л и В', как нам того и хотелось, располо­жены по разные стороны от прямой /, и выбрать из всех ломаных вида АМВ' кратчайшую не составляет труда. Именно, точку М следует взять на пересечении прямой Iс отрезком АВ'. Заметим, что отрезки АМ и МВ образуют равные углы с прямой /; следовательно, по закону отра­жения свет всегда распространяется по кратчайшему пути.

Задача 32. Внутри угла даны две точки: А и В. Среди всех ло­маных вида АМЫВ, где М и N лежат на разных сторонах угла, най­дите кратчайшую .

 

Рассмотрим еще один пример, связанный с отыска­нием кратчайших линий.

 

 

Пример 15. В данный остроугольный треугольник вписать треугольник с наименьшим периметром.

Пусть С/УМ?—произвольный треугольник, вписанный в данный треугольник АБС. Отразим точку V симметрично относительно сторон АВ и ВС (рис. 24). Тогда длины ломаных   и КУУРЬ совпадают. Поэтому из всех

вписанных треугольников с вершиной II наименьший периметр имеет тот треугольник, для которого ломаная КУ№Ь является частью прямой, а именно АУМЫ. Если теперь из всех «минимальных» треугольников (УМЫ, соответствующих различным положениям точки V, выбрать тот, периметр которого будет наименьшим, то этот тре­угольник и будет, очевидно, искомым. Поэтому теперь требуется найти такое положение вершины V, чтобы от­резок КЬ имел наименьшую длину.

Замечаем, что■— равнобедренный

. А так как угол привершине В не зависит от по­ложения точки, то основание бу­дет наименьшим в том треугольнике ВКЬ, в котором бо­ковая сторона ВК (равная В1Л) является наименьшей. Отрезок же ВII является кратчайшим среди всех отрез­ков, соединяющих точку В с точками прямой АС, в том случае, когда

 

Так как результат «симметричен» по отношению ко всем вершинам искомого треугольника, то точки V, V, № — основания высот, проведенных из точек А, В, С.

Задача 33. Постройте треугольник, если известна одна его вер­шина, а также прямые, на которых расположены три его биссек­трисы.

Задача 34. Внутрь угла с зеркальными сторонами, величина ко­торого 45°, пущен луч. Докажите, что после нескольких отражений он примет направление, параллельное исходному. Для каких других углов наблюдается то же явление?

Задача 35. Найдите закономерность и продолжите ряд фигур, изображенных на рис. 25.

Посмотрите на рис. 13. Очевидно, Поворот        что сумма всех вершин правильного

многоугольника с четным числом сторон над его центром Р совпадает с Р (другими словами, сумма радиусов-векторов вершин равна нулю). По­пробуйте, однако, доказать аналогичное утверждение в случае многоугольника с нечетным числом сторон, напри­мер пятиугольника. Попытка решения этой задачи с использованием координат сопряжена с громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Но трудной эта задача кажется лишь до тех пор, пока плоскость непод­вижна.

Пример 16. Доказать, что сумма вершин правильного многоугольника над его цент­ром Р совпадает с Р.

При повороте плоскости вокруг точки Р на угол 360°/п, где п — число сторон, данный многоугольник перейдет в себя. Значит, сумма его вершин при повороте не изменится. Но на плоскости есть только одна точ­ка, которая переходит в себя при повороте: это центр поворота.

Задача 36. Из произвольной точки М, находящейся внутри пра­вильного многоугольника, проводятся перпендикуляры к его сторо­нам и на каждом из них откладывается отрезок, равный соответ­ствующей стороне. Найдите сумму всех полученных точек над М.

Пример 17. Построить равносторонний треугольник, если известны расстояния а, Ь, с его вершин от данной точки И.

Мы умеем строить треугольник по трем сторонам, но на рис. 26 отрезки а, Ь, с треугольника не образуют. Повернем плоскость вокруг точки С на 60°. При этом точка В перейдет в Л, а точка И займет новое положе­ние й'. Так как при поворотах сохраняются расстояния,то в треугольнике АББ' известны длины всех сторон. Его мы и построим сначала. Затем найдем точку С (АСББ'— равносторонний) и достроим отрезок АС до равносторон­него треугольника АБС.

Задача 37. Постройте равносторонний треугольник, вершины ко­торого расположены по одной на трех данных параллельных прямых.

Пример 18. В остроугольном треугольнике АБС найти такую точку К, сумма расстояний от которой до трех вер­шин треугольника явля­ется наименьшей.

Пусть К — произволь­ная точка внутри тре­угольника АБС. Повер­нем. вокруг точки А на 60° (рис. 27). Так как равносторонний, то. . , и длина ло­маной С'К'КВ представ­ляет собой сумму расстояний от точки К до трех вершин треугольника. Положение точки С' от выбора точки К не зависит. Поэтому сумма будет наименьшей, когда К и К' находятся на отрезке ВС', причем угол АКС' должен быть равен 60° и точка К определяется однозначно.

Заметим, что из точки К сторона АВ видна под углом 120°. Вершины и стороны треугольника в нашей задаче равноправны. Поэтому и углы В КС и АКС также равны 120°.

 

Задача 38. Внутри квадрата АВСй взята произвольная точка М. Из вершины А проведен перпендикуляр к прямой ВМ, из верши­ны В — на СМ, из С — на БМ, а из Б — на АМ. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Частный случай поворота — поворот на 180° — имеет особое название: разворот, или центральная симметрия. Приведем две задачи на использование разворота.

Задача 39. Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой эти окружности отсекают равные хорды.

Задача 40. Имеется круглый стол и неограниченное количество одинаковых круглых монет. Двое играющих по очереди выклады­вают монеты на стол так, чтобы они не касались друг друга. Выигры­вает тот, кто положит последнюю монету. Как должен поступить игрок, делающий первый ход, чтобы выиграть?

Пример 16 можно решить и алгебраически. Введем на нашей плоскокомплексной сти комплексную структуру (т. е. переменной     описанное выше умножение точек плоскости). Сделаем это так, чтобы центр данного и-угольника соответствовал числу 0, а одна из вершин— 1. Пусть■—вершина, соседняя с 1,тогда остальные вершины суть. Поскольку, то

 

Из уравнения получаем,

ибо

Это доказательство принципиально не отличается от предыдущего, точнее, представляет дословный перевод геометрических рассуждений на алгебраический язык. Действительно, алгебраическое доказательство основано на том, что единственное число, переходящее в себя при умножении на т. е. удовлетворяющее уравнению, есть нуль. Но что происходит с комплексным числом при умножении на Согласно общему правилу, его модуль не изменяется, так как, а к аргументу прибавляется 360°/п. Геометрически это означает поворот дан­ной точки на угол 360°/« вокруг центра многоугольника.

Итак, если точки плоскости понимать как комплекс­ные числа, то геометрические преобразования и, в частности, движения плоскости следует интерпретировать как функции комплексной переменной, где г — произвольная точка плоскости, а т — ее образ. Например, поворот с центром в нуле представляется функцией вида где(при этом, где Ф — угол поворота). Очевидно также, что параллельный перенос описывается формулой

где а — некоторое комплексное число.

Выведем теперь формулу поворота комплексной пло­скости вокруг произвольной точки р. Из рис. 28 видно, что поворот точки 2 вокруг р на угол ф можно осущест­вить в три этапа:

точку г перенести в точку г — р;

точку 2 — р повернуть на угол ф вокруг О, в ре­зультате чего она попадет в точку а (г — р), где

 

точку перенести в точку

Таким образом, поворот плоскости вокруг точки р на угол ф задается функцией

(2)

где

Параллельные переносы и повороты называются соб­ственными движениями. Такое название объясняется тем, что для физического осуществления этих преобразований не надо выходить за пределы плоскости, тогда как отра­жение требует ее переворота в окружающем трехмерном пространстве. Из формул (1) и (2) видно, что собствен­ные движения плоскости описываются линейными функциями

где а и тп — комплексные числа, причем Докажем и обратное: всякая линейная функция вида (3) задает некоторое собственное движение. Если , то формула (3) принимает вид (1), что соответ­ствует переносу. Если же, то из выражения

 

 

видно, что данное преобразование есть поворот вокруг точкина угол ср, такой, что

 

Для описания несобственных движений (например, отражения относительно прямой), помимо сложения, умножения и перехода к пределу, требуется еще одно действие: комплексное сопряжение. Сопряженным к числуназывается число. Геометри­чески переход к сопряженному числу означает отражение относительно действительной оси (рис. 29). Напомним, что в главе «Плоскость» мы уже пользовались сопряже­нием при выводе формулы для частного двух комплекс­ных чисел.

Задача 41. Выведите следующие формулы, описывающие отражение относительно прямой, заданной уравнением

, если(4)

(5)

(заметим, что, где>, а ср — угол наклона данной прямой к оси х).

А теперь рассмотрим пример, иллюстрирующий использование алгебраи­ческой записи движений как функций комплексной переменной при решении геометрических задач.

Пример 19. Искателю сокровищ стало известно, что местонахождение кла­да можно определить по положению трех известных примет А, В, С сле­дующим образом (рис. 30). В точке А нужно построить прямой угол и отложить отрезок ——, в точке В — прямой угол и отложить отрезоки начинать

раскопки в точке К, являющейся серединой отрезка БЕ. Искатель клада прибывает на место и видит, что приметы А и В имеются, а примета С бесследно исчезла. Может ли он тем не менее определить точку /С?

Пусть точке А соответствует нуль комплексной плос­кости, а точкам В и С — числа Ъ и с. Согласно формуле (2), точки Б и Е суть числа — 1с и. I следовательно, середина отрезка Е есть Поскольку это

выражение от с не зависит, местонахождение клада не зависит от положения точки С. Из той же формулы вид­но, что точку К можно найти как вершину прямоуголь­ного равнобедренного треугольника с гипотенузой АВ. Это построение и должен выполнить искатель клада.

Задача 42. Две стороны треугольника повернуты вокруг нх общей вершины на 90° в противоположных направлениях. Докажите, что прямая, соединяющая концы полученных отрезков, перпендику­лярна к медиане.

 

 

Поскольку движение плоскости есть, Композиция       по определению, преобразование,

движений сохраняющее расстояния между точками, а при последовательном вы­полнении двух движений (при их композиции) расстоя­ния также не меняются, то композиция движений явля­ется движением. Рассмотрим композиции изученных дви­жений: переносов, отражений и поворотов.

Пример 20. Найти композицию двух отражений.

Отражение относительно прямой I условимся обозна­чать 5{. Пусть даны две прямые I и т и требуется найти композицию 5т ° Обозначим А' образ данной точки А при а А" — образ точки А' при 8т.

 

Рассмотрим сначала случай, когда данные прямые параллельны (рис. 31, а). Точки А, АА" располагаются на одной прямой, перпендикулярной к I и т, причем не­зависимо от положения точки А расстояние АА" равно удвоенному расстоянию между прямыми I и т. Следовательно, композиция отражений и 5т действует на каж­дую точку плоскости так же, как и параллельный перенос —» - >

на вектор 2и, где вектор и, как показано на рис. 31, с, перпендикулярен к данным прямым, равен по длине рас­стоянию между ними и направлен от / к т, т. е.

Пусть теперь прямые I и т пересекаются в некоторой точке С (рис. 31,6). Если ф —угол между данными пря­мыми, то из чертежа видно, чтоКроме того, точка С равноудалена от точек А, А', А". Значит, точку А" можно получить из А поворотом на угол 2ф вокруг точки С. Иными словами, где черезобозначен поворот на угол 2ф вокруг точ­ки С против часовой стрелки, если, и по часовой стрелке, если

Рекомендуем читателю наряду с рис. 31,6 рассмот­реть другие случаи расположения точки А на плоскости и убедиться, что доказанное утверждение справедливо для всех точек плоскости. Во избежание недоразумений отметим, что угол 2ф, фигурирующий в формуле (7), от- считывается в ту же сторону, что и угол ф.

Задача 43. Пусть /, т и п — прямые, пересекающиеся водной точке. Определите, что представляет собой движение (возведение в квадрат понимается как композиция движения с собой, т. е. в даи иом случае как). Советуем вначале

решить задачу «экспериментально», т. е. применить указанную ком­позицию к точке плоскости, взятой наугад. Полученный результат докажите с помощью формулы композиции отражений.

Формулы (6) и (7) можно прочитать и справа налево: тогда они позволяют выразить перенос и поворот через отражения. При этом следует иметь в виду, что пара пря­мых, отражения относительно которых дают искомое дви­жение, определяется неоднозначно, и этим обстоятель­ством можно воспользоваться.

Пример 21. Найти композицию двух поворотов.

Если центры поворотов совпадают, ответ очевиден:

Рассмотрим композицию поворотовис разными центрами. Каждый из них можно представить в виде ком-

позиции двух отражений:(прямые I и т пересекаются в точке А и образуют угол), а (прямые пир пересекаются в точке В и об­разуют угол) (рис. 32, а). Тогда

Это выражение упрощается, если прямые I и р совпа­дают: в этом случае является тождественным преобразованием * и из четырех «сомножителей» оста­ется только два. Чтобы так получилось, нужно в качест­ве / и р взять прямую с, соединяющую точки А и В. Обо­значим через Ь прямую, полученную из с поворотом на угол ф/2 вокруг точки А, г а — прямую, полученную из с поворотом на угол —ф/2 вокруг В. Если прямые а и Ь пересекаются в точке С (рис. 32,6), то, согласно сказан­ному выше, или, обозначив

 

 

 

 Тождественное преобразование переводит каждую точку в себя. Его принято обозначать символом к], что в переводе с латин­ского означает «это».

 

где С — третья вершина треугольника, имеющего верши­ны А, В и углы аир при этих вершинах; у — угол этого треугольника при вершине С.

Если же прямые а и Ь параллельны (кратно

360°), то

(10)

—>

где вектор и определяется из рис. 32, в.

Равенство (9) можно переписать в более симметрич­ном виде, если домножить обе его части справа на (т. е. взять композицию обеих частей равенства с пово­ротомв указанном порядке):

(И)

Это равенство равносильно равенству (9), так как полу­чается из него домножением обеих частей на Не* .

Справедливо и обратное утверждение: если точки А, В, С и углы а, р, у, заключенные в пределах от 0° до 180°, таковы, что имеет место равенство (11), то а, р, у — ве­личины углов треугольника АБС.

В справедливости равенства (11) можно убедиться и непосредственно. Так как, то компози­

цияявляется параллельным переносом. Из

рис. 33 видно,что при последовательном выполнении по­воротов', .,точка А переходит в себя.

Можно вывести и алгебраическую формулу для ком­позиции двух поворотов. Согласно формуле (2), для любых значений

где;. Чтобы найти композицию поворотови, нужно во второе равен­ство подставить значениеиз первого равенства•

 

Замечая, что, и сравнивая полученное выражение с формулой (2), видим, что где точка С описывается комплексным числом

Итак, геометрические и алгебраические рассуждения привели нас к разным по виду формулам композиции двух поворотов. Из сравнения этих формул получаем следствие.

Точка С, являющаяся третьей вершиной треугольни­ка А ВС, вершины А и В которого суть известные комп­лексные числа а и Ъ и углы которого при этих вершинах ф/2 и ч]з/2 даны, описывается комплексным числом с, опре­деляемым из соотношения (12).

Рассмотрим, как используются понятие композиции движений и выведенные формулы при решении геомет­рических задач.

Пример 22. На сторонах треугольника вне его по­строены правильные треугольники (рис. 34). Доказать, что их центры М, Ы, Р также образуют правильный тре­угольник.

По условию, треугольники АМВ, ВАС и СР Л равно­бедренные с углами по 120° при вершинах. Рассмотрим композицию трех поворотов(напомним, что положительные углы отсчитываются против часовой стрелки). Из формул (9) и (10) видно, что дви­жение Р должно быть поворотом или параллельным пе­реносом. Поскольку суммарный угол поворота компози­ции Р есть 120°+120°+120° = 360°, Р представляет собой перенос. Посмотрим далее на образ точкиА при этом переносе. Ясно, что!,,

т. е.. Отсюда следует, что Р —перенос на нулевой вектор, т. е. тождественное преобра­зование

 

Сравнивая это равенство с формулой (11), делаем за­ключение, что М — третья вершина треугольника с вер­шинами в точках N и Р, имеющего углы по 60° при этих вершинах, т. е. равностороннего треугольника.

Задача 44. Попробуйте доказать утверждение предыдущего при­мера с помощью комплексных чисел. Предполагая числа, соответ­ствующие точкам А, В, С, данными, найдите по формуле (12) числа, соответствующие точкам М, N и Р. Полученное решение будет более громоздким, чем приведенное выше, но не менее интересным и поучи­тельным.

Задача 45. На сторонах четырехугольника вне его построены квадраты. Докажите, что их центры образуют четырехугольник, диа­гонали которого взаимно перпендикулярны и равны.

Задача 46. Найдите композицию:

а)      двух разворотов;

б)      разворота и отражения.

Задача 47. Постройте пятиугольник по серединам его сторон

Решая задачу 46, читатель уже имел

Скользящее       возможность убедиться в том, что

отражение         при композиции переносов и отра­

жений, а также поворотов и отра­жений иногда получаются движения, не принадлежащие ни к одному из перечисленных видов, а именно, скользя­щие отражения (или скользящие симметрии). Скользя­щей симметрией с осью I и вектором(обозначим ее) называется движение, состоящее в отражении относи­тельно прямой I и параллельном переносе на вектор

параллельный прямой I (рис. 35). Иначе говоря,

. Движения и перестановочны

относительно композиции, так как АА^А'Ач— прямо­угольник.

 

Скользящие отражения, так же как и другие виды движений, могут с успехом использоваться при решении геометрических задач.

Пример 23. Построить пря­мую, параллельную стороне АС данного треугольника АБС и пересекающую его стороны АВ и ВС в таких точках Б и Е соответственно, что

Воспользуемся свойствами скользящего отражения, кото­рые следуют из рис. 35:

1) при скользящем отраже­нии середина любого отрезка, соединяющего точку с ее образом, лежит на оси;

2) при скользящем отражении точки, лежащие на оси, на ней же и остаются.

Рассмотрим скользящее отражение V, переводящее луч АВ в луч ВС. Его осью служит прямая А1К, где Ы— серединастороны АВ, а К — такая точка на стороне ВС, чтоПо условию,, так что

Середина отрезкаБЕ должна лежать на прямой ЫК. Но поскольку, середина БЕ лежит на медиа­

не ВМ. Поэтому отрезки БЕ, ВМ и ЫК должны пересе­каться в одной точке, и требуемое построение можно выполнить в следующем порядке. Построим точки Ы и К так, как было сказано выше, проведем медиану ВМ, а че­рез точку пересечения ВМ и ЫК— прямую, параллель­ную АС. Это и есть искомая прямая.

Задача 48. Даны три прямые и некоторая точка. Через эту точку проведите прямую / так, чтобы ее образ при композиции трех отра-

жений относительно данных прямых (в заданном порядке) был па­раллелен прямой I.

Задача 49. Выведите алгебраическую формулу скользящего от­ражения, заменяя точки плоскости соответствующими им комплекс­ными числами, а движения—действиями над этими числами.

Итак, мы познакомились с новым Классификация видом движений плоскости. Возни- движений       кает естественный вопрос: исчерпы­

ваются ли все движения четырьмя описанными видами? Нельзя ли получить еще какое-либо новое движение как композицию уже известных? Ответ на этот вопрос дает теорема: все движения плоскости исчерпываются поворотами, переносами, скользящими (и обычными) отражениями .

Докажем ее. Начнем наше рассуждение со следующе­го замечания движение плоскости полностью определя­ется образами трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой. Действительно, если А', В', С' — образы точек А, В, С, то для любой точки Б существует ровно одна точка Б', такая, что расстояния от нее до точек А', В', С' соответственно равны расстояниям от Б до А, В, С. Вто­рое свойство, которым мы будем пользоваться, состоит в том, что для любой пары точек М, М' существует отра­жение, переводящее М в М'; осью этого отражения слу­жит серединный перпендикуляр к отрезку ММ'.

С учетом сделанных замечаний представим произ­вольное движение плоскости как композицию нескольких отражений — этим приемом мы уже пользовались при выводе формулы композиции поворотов (см. пример 21).

Итак, пусть $ — произвольное движение плоскости. Выберем любые три точки А, В, С, не лежащие на однойпрямой, и обозначим их образы

. Пусть 5; — отражение, переводящее А в А'. Положим(рис. 36). Если точка

не совпадает с В', то существует отражение 8т, которое их совмещает. При этом ось т проходит через точку А', так что эта точка остается на месте, а С4 переходит в новое положение Сг. Теперь ясно, что точки С2 и С' или совпадают, или симметричны относительно прямой

 

 

А'В' = п. Таким образом, данное движение $ либо само является отражением, либо равно композиции двух или , (самое большее!) трех отражений. Если $ — композиция] двух отражений, то, согласно примеру 20, это поворот или ] перенос. Разберем, наконец, случай композиции трех отражений Существует несколько способов расположения трех различных  прямых на плоскости I (рис. 37). В случае «а» композиция представляет

собой поворот. Его можно представить также как где прямые т' и Г пересекаются в той же точке и под

тем же углом, что и прямые т и / (при этом учитывается порядок, в котором берутся прямые). Пару т', V можно выбрать так, чтобы Тогда

8п ° 8т ° 81 = 8п ° 8п о 81' = 8[\

Аналогично проверяется, что и в случае «б» компози­ция трех отражений также является отражением.

Рассмотрим теперь слу­чай «в». Заменим компози­циюкомпозицией ', где прямая т' вы­бирается перпендикулярной к п (тс. 38): тогда

Фигури­рующую здесь композицию

Заметим, что прямые /' и т" параллельны, поэтому ком­позиция ...■ является переносом вдоль перпендику­лярной к ним прямой п', а все движение будучи компо­зицией этого переноса с отражением относительно п', есть скользящее отражение.

Случаи «г» сводится к случаю «в». Чтобы в этом убе­диться, достаточно одно из выраженийили заменить композицией отражений относительно чуть по­вернутой пары прямых. Параллельность при этом нару­шится, и мы получим рис. 37, в.

Итак, существует четыре вида движений плоскости: перенос, поворот,

отражение и скользящее отражение. В ходе доказательства этой теоремы мы видели, что дви­жения первых двух видов, ранее названных собственны­ми, представляются композицией четного числа (двух) отражений. Остальные два вида движений, которые на­зываются несобственными, так как для своего физиче­ского осуществления требуют выхода в пространство, соответствуют композиции нечетного числа отражений (одного или трех). Чтобы лучше разобраться в причинах этого явления, введем понятие ориентации.

Две упорядоченные тройки точек А1, Ви С4 и Аг, В2, С2, не лежащих на одной прямой, называются одинаково ориентированными, если обход контуров треугольников А1В1С1 и Л2В2С2, вершины которых берутся в указанном порядке, в обоих случаях происходит в одну и ту же сто­рону (оба раза по часовой или оба раза против часовой стрелки). Если же этот обход производится в различных (противоположных) направлениях, то говорят, что эти тройки ориентированы по-разному (имеют разную ориен­тацию).

Понятие ориентации хорошо иллюстрируется следую­щей задачей.

Задача 50. На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы. Хоккеист выбирает одну из них и бьет по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-либо точ­ке. Могут ли все шайбы вернуться на свои прежние места после 25 ударов?Замечательно, что всякое движение / либо сохраняет ориентацию сразу всех троек точек (т. е. ориентация лю­бой тройки А, В, С совпадает с ориентацией тройки /(А), ((В), /(С)), либо меняет ориентацию сразу всех троек. Движения, которые можно представить как композиции четного числа отражений (собственные движения) сохра­няют ориентацию, а движения, представимые как композиции нечетного числа отражений (несобственные), ориентацию меняют. Отсюда следует любопытный факт: композиция нечетного числа отражений никогда не мо­жет привести к тождественному преобразованию плос­кости.

Заметим, наконец, что понятие ориентации легко интерпретируется на языке операций над комплексными числами.

Задача 51. Докажите, что тройки точеки| на комплексной плоскости ориентированыодинаково тогда и только тогда, когда аргумент <р числазаключен в пределах от 0° до 180°.

Преобразование / некоторого множества называется инволютивным

инволюций         (или инволюцией), если само оно нетождественно, но в квадрате дает тождественное преобразование:,. Это условие равносильно тому, что данное преобразование совпадает со своим обратным, т. е. если то. Есть два вида инволютивных движений плоскости: 1) отражения 5;; 2) развороты КА (условим­ся, что если угол поворота не указан, то он считается равным 180°). Инволюции на плоскости взаимно одно­значно соответствуют элементам двух сортов: точкам и прямым. Разным точкам и разным прямым отвечают при этом разные движения плоскости, поэтому переход от геометрических элементов к соответствующим инволю­циям не приводит к потере информации: любое геометри­ческое утверждение, относящееся к точкам и прямым плоскости, может быть сформулировано как некоторое свойство отвечающих этим элементам инволюций.

Пример 24. Найти свойство отражений и 8т, равно­сильное тому, что прямые I и т взаимно перпендику­лярны.

Рассмотрим композицию представляющую собой перенос, если, и поворот на угол, если I и т пересекаются под углом ср. Квадрат этой композиции в первом случае есть снова перенос (на двой­ной вектор), а во втором — это поворот на угол 4ф. Отсюда видно, что движение совпадает с тождественным преобразованием тогда и только тогда, когда I. Итак, искомое свойство т. е. движениеинволютивно (заметим, кстати, что это разворот с центром в точке пересечения данных прямых).

Домножим равенство (13) на 5а затем на 8т. Тог­да, учитывая, что и 8т — инволюции, получаем другую форму записи того же свойства:

(14)

т. е. отражения 8т и перестановочны (коммутируют). Заметим, что композиция движений, как и любых преоб­разований, всегда ассоциативна, как и умножение чисел и точек, но в отличие от последнего она, вообще говоря, не обладает свойством коммутативности. Например, как мы только что увидели, отражения относительно двух различных прямых коммутируют между собой тогда и только тогда, когда эти прямые взаимно перпендику­лярны.

Здесь уместно сказать несколько слов по поводу ассо­циативности. Свойством ассоциативности обладают не только движения и другие преобразования, но и произ­вольные отображения (преобразованием называется взаимно однозначное отображение множества в себя). Точнее, пусть V, XV, X, V — некоторые множества и /, д, Л — их отображения согласно схеме

 

Тогда можно составить композиции (или, употребляя это слово в переносном смысле, произведения) отображений:

 

 

 

 

Утверждается, что отображенияи совпадают. Приведем сначала формальное доказатель­ство этого утверждения, а затем поясним его наглядно.

Для формального доказательства достаточно несколь­ко раз воспользоваться определением композиции ото­бражений, которое,например, для [ и я выражается ра­венствомдля любого элемента V множества V (т. е. к V применяется отображение а (у) отображение д). Проследите, как используется это определение в следующей цепочке равенств:

 

Поскольку значения отображений _ и на любом элементе совпадают, эти отображения равны между собой.

 

 

Для понимания существа свойства ассоциативности проведем следующую аналогию. Представьте себе, что 8 и Н — действия, состоящие в надевании носков, вале­нок и галош соответственно. Чтобы составить компози­цию, нужно вдеть носки в валенки и надеть то, что получится,на ноги, а сверху надеть галоши. Компо­зиция жеосуществляется так: сначала наде­вают носки, а затем валенки, на которые уже надеты га­лоши. Результат в обоих случаях одинаков!

Этот же пример хорошо иллюстрирует некоммутативность рассматриваемых операций: надеть носки, а потом валенки — это совсем не то же самое, что надеть сначала валенки, а потом носки! Однако и здесь можно указать

коммутирующие действия, например надевание носка на левую ногу и надевание носка на правую ногу.

С помощью этой аналогии легко найти формулу дей­ствия, обратного композиции. Если, например, надеты носки, валенки и галоши, то для того, чтобы все это сиять, надо снять сначала галоши, затем валенки, а по­том носки. Таким образом,

 

Вернемся теперь к исчислению инволютивных движе­ний плоскости.

Пример 25. Выразить посредством инволюций тот факт, что четыре данные точки А, В, С, Б образуют па­раллелограмм.

Согласно результату задачи 46, композиция

есть параллельный перенос на вектор, а компози­ция— перенос на вектор. Четырехугольник АВСБ (с этим порядком вершин!) является параллело­граммом тогда и только тогда, когда, что рав­носильно соотношению

 

Это соотношение можно переписать в виде или

(16)

Последнее равенство можно рассматривать как формулу, выражающую четвертую вершину параллелограмма че­рез три другие вершины.

Задача 52. Запишите следующие геометрические факты на языке инволюций:

а) точка А лежит иа прямой /; б) точка А — середина отрез­ка ВС.

Задача 53. Укажите геометрический смысл следующих соотно­шений:

а); б)

Исчисление инволюций часто обеспечивает краткую и удобную форму записи геометрических фактов и соотно­шений, полезную при ре­шении задач и доказа­тельстве теорем.

Пример 26. Пусть М, N. Р, 0. — центры квадра­тов, построенных на сто­ронах четырехугольника АВСБ (рис. 39). Опреде­лить, при каких условиях, налагаемых на четырех­угольник АВСБ, четырех­угольник МЫРС} будет квадратом.

Читателю уже извест­ие, 39        но, что диагонали четы­рехугольника МЫРС} вза­имно перпендикулярны и равны (см. задачу 45). Следо­вательно, для того чтобы быть квадратом, четырехуголь­нику МЫРС1 достаточно быть параллелограммом. Поль­зуясь результатом примера 25, запишем это условие в виде

Но, согласно формуле (9), где(напоминаем, что если величина угла поворота не указана, то имеется в виду разворот, т. е. пово­рот на 180°), Подставляя эти выражения в формулу (17), получаем

 

Согласно формуле (16), произведение трех разворотов, входящих в левую часть этого равенства, есть РЕ, где Е — четвертая вершина параллелограмма, тремя верши­нами которого являются А, В и С. Еслитеперь умножить обе части равенства (18) дважды на(один раз сле­ва, другой раз справа), получим, а это возмож­но лишь в том случае, когда точки А и Е совпадают. Итак, если МЫРС} — квадрат, то АВСЮ — параллело­грамм. Достаточность этого условия можно усмотреть, проследив в обратном порядке проведенные выше рас­суждения, а еще проще проверить ее непосредственно, заметив, что треугольники фЛМ, МВЫ, ЫСР и РИС} в этом случае равны.